...તો કેટલાં ખાનાં ખુલ્લાં હશે ??

ગયા અંકમાં પૂછેલું કે nxn ખાનાવાળા ચોરસમાં કુલ કેટલાં લંબચોરસ હોય? ઘણા બધા વાંચકોએ  આ જવાબ આગલાં અંકમાં પુછેલ પઝલમાં જ જવાબ આપી દીધેલ તો બીજા ઘણા વાંચકોએ આ વખતે જવાબ મોકલ્યા. ચાલો જોઈ લઈએ કેટલાં લંબચોરસ nxn ખાનાવાળા ચોરસમાં હોય.
ગયા વખતે આપણે ચેસ બોર્ડ માટે જવાબ શોધતી વખતે સૂત્ર મેળવેલ કે ચેસ બોર્ડમાં રહેલા કુલ લંબચોરસની સંખ્યા = (Sigma8 )^2
ચાલો ધારી લઈએ કે n *n   ખાનાવાળા ચોરસમાં કુલ (Sigma n ) ^2  લંબચોરસ હોય. હવે સાબિત કરવાનું રહે કે n +1 ખાનાવાળા ચોરસમાં (સિગ્મા (n + 1 ) ) ^2  લંબચોરસ છે.     જે ગયા અંકમાં ગણિતીય અનુમાનના સિદ્ધાંતથી તારવી શકાય.
હવે જીગર પટેલે ચેસબોર્ડમાં  રહેલાં લંબચોરસ શોધવા માટે લખી મોકલેલ જવાબ જોઈએ,
હવે 1 ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ માટે,

1*1                         -              8*8=                     64

1*2 & 2*1            -              (7*8) +(7*8)=    112

1*3 & 3*1            -              (6*8) +(6*8)=    96

1*4 & 4*1            -              (5*8) +(5*8)=    80

1*5 & 5*1            -              (4*8) +(4*8)=    64

1*6 & 6*1            -              (3*8) +(3*8)=    48

1*7 & 7*1            -              (2*8) +(2*8)=    32

1*8 & 8*1            -              (1*8) + (1*8)=   16

                                                                =  512                      =8 ^3

હવે ૨ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ માટે,

2*2                         -              7*7=                     49

2*3 & 3*2            -              (6*7) +(6*7)=    84

2*4 & 4*2            -              (5*7) +(5*7)=    70

2*5 & 5*2            -              (4*7) +(4*7)=    56

2*6 & 6*2            -              (3*7) +(3*7)=    42

2*7 & 7*2            -              (2*7) +(2*7)=    28

2*8 & 8*2            -              (1*7) +(1*7)=    14

                                                                =  343                      = 7 ^3

હવે ૩ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ માટે,

3*3

…

..

3*8 & 8*3            -              (1*6) + (1*6)

                                                                = 216                       = 6^3

4*4  TO (4*8 & 8*4)                = 125                       =5^3

5*5 TO (5*8 & 8*5)                 = 64                          =4^3

6*6 TO (6*8 & 8*5)                 = 27                          =3^3

7*7 TO (7*8 & 8*5)                 = 8                            =2^3

For 8*8                                        = 1                            =1^3

ટોટલ = 512+343+216+125+64+27+8+1               =             1296

સૂત્ર                                                                                    ^{=Sigma N ^3}

હવે આપાણી પાસે બે જુદા જુદા સુત્રો છે અને બંને ખરા પણ છે! આમ એક સરસ સંબંધ આ મુજબ લખી શકીએ, જે આપણે જાણીએ જ છીએ.
Sigma N^{^}3 = (Sigma N)^2 


END GAME

એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા કરે, ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, .. ખાના બંધ કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં  ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે કેટલા ખાનાં ખુલ્લાં  હશે?
આપના જવાબો alpesh .bhalala @gmail .com પર મોકલો અથવા www .alpeshbhalala .com પર કોમેન્ટ મુકો.

Puzzle your mind!

આપણે ગયા અંકમાં ચેસ બોર્ડમાં રહેલાં કુલ ચોરસ જુદા માપ ધરાવતાં ચોરસ ગણ્યા હતાં દા.ત.   ૧x૧, ૨x૨ વગેરે માપના કેટલા ચોરસ છે અને બધાને ઉમેરતાં આપણે ૨૦૪ ચોરસ મેળવ્યા હતાં. આ રીતે કોઈ પણ માપના ( દા. ત. ૧૦x૧૦ ખાનાવાળા ) બોર્ડમાં કેટલા ચોરસ છે એ શોધવાની કી શોધી. પછી એ ફોર્મ્યુલાનું ( nxn માપના બોર્ડ માટે કુલ n*(n +1 )(2n+1)/6 ચોરસ મળે )  માપના  વિસ્તરણ કરીને કોઈ પણ માપના ખાનાવાળા બોર્ડ માટે બનાવી. પણ એ સાબિત કરવાનું વાંચકો પર છોડ્યું હતું.

આ પ્રકારના પ્રશ્નો ઉકેલવાની શ્રેષ્ઠ પદ્ધતિ છે  ગણિતીય નિગમન( Mathematical Induction ). જે મુજબ આપણે વિધાનને n = ૧ માટે સાબિત કરીશું. બીજા સ્ટેપમાં, ધારો કે n માટે વિધાન ખરું છે તો n +1 પણ ખરું એ વિધાન ખરું હોય.


n = ૧ લેતાં, ૧x૧  માપના બોર્ડમાં રહેલાં કુલ ચોરસ આપની ફોર્મ્યુલા મુજબ ૧*(૧+૧)*(૨+૧)/૬ = ૧ મળે જે ૧x૧ના ચોરસ માટે દેખીતી રીતે જ ખરું છે.

હવે ધારો કે n માટે આ વિધાન સાચી છે મતલબ nxn માપના ચોરસ બોર્ડમાં કુલ n*(n +1 )(2n+1)/૬ ચોરસ હોય. તો હવે સાબિત કરવાનું રહે કે n +૧ માટે પણ  આ વિધાન સાચું છે. 


(n +૧)x (n +૧) ચોરસ ધરાવતાં બોર્ડમાં  કુલ ચોરસની સંખ્યા nxn માપના ચોરસમાં રહેલાં ચોરસની સંખ્યામાં, બોર્ડમાં  એક હાંર અને એક કોલમ ઉમેરતાં  વધતાં  ચોરસના ઉમેરણ જેટલા થાય. ( દા.ત. 3x3 માપના બોર્ડમાં કુલ ૧૪ ચોરસ છે જો બોર્ડમાં ૧ હાંર અને એક કોલમ ઉમેરીએ તો જે તે હાંર કે કોલમથી બનતા ચોર્સનું ઉમેરણ કરવાથી 4x4 ના માપના બોર્ડના કુલ ચોરસ મળે. જે આપણાં ઉદાહરણમાં ૪ ના વર્ગ બરાબર એટલે કે ૧૬ જેટલા વધે. મતલબ કુલ ચોરસ ૧૪+૧૬ = ૩૦ થાય.)

   (n +૧)x (n +૧) ચોરસ ધરાવતાં બોર્ડમાં  કુલ ચોરસની સંખ્યા = nxn માપના ચોરસમાં રહેલાં ચોરસની સંખ્યા + (n +૧)^2
  = n (n +૧)(2n +૧)/૬ +(n +૧)^2   
 =  (n +૧)  [ n /6 (2n +૧) + (n +૧)]
 = (n +૧) /૬ [ 2n ^૨ + ૭ન + ૬ ]
 =   (n +૧)  (n + ૨) ( 2n + ૩ )/6
 = Sigma (n +૧)^2


આમ, આપણી પૂર્વધારણા સાચી છે. 

હવે ગયા અંકની End   Game નો જવાબ! 

ગયા અઠવાડિયાના અંકમાં અંતે પૂછેલા  સવાલના પણ ઘણાં ખરા સાચા જવાબો મળ્યાં. આદીલ મક્સ્તીએ સૌ પ્રથમ સાચો જવાબ આપ્યો. મોટા ભાગના વાંચકોએ લોજીક અથવા પદ્ધતિ લખવાનું ટાળ્યું.  ચેસ બોર્ડમાં કુલ કેટલાં લંબચોરસ હોય, એ ગયા અઠવાડિયાની End   Game નો સવાલ હતો અને સાચો જવાબ છે ૧૨૯૬!  

કેવી રીતે? આ વધુ અગત્યનો સવાલ છે. કેમ કે અહીં આપણી મથામણ લોજીક શોધવાની કે વિકસાવવાની વધુ છે. માત્ર સાચો જવાબ મેળવવાનું એટલું અગત્યનું નથી. મેથડ સાચી હોય તો જવાબ આપમેળે મળશે. અને દરેક સવાલ ઉકેલવાના ઘણા રસ્તા હોય શકે છે. અહી આપેલ રસ્તો જ માત્ર ખરો ઉકેલ છે એવું કઈ જરૂરી નથી. ચાલો ફરીથી મૂળ વાત પર આવીએ. 

નીચે મુજબ અલગ અલગ માપના લંબચોરસ શોધી શકાય. 

માપ                                                 લંબચોરસ
 
૧x૧                                                      ૮*૮=64
૧x૨                                                      ૮*૭=૫૬ (દરેક હારમાં સાત ૧x૨ લંબચોરસ, અને એવી ૮ હાર)
૧*૩                                                      ૮*૬=48
......                                                    
૧*૮                                                      ૮*૧=8


મતલબ ૧ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ = ૮*(૧+૨+૩+૪+૫+૬+૭+૮) =૮*sigma8


આ જ રીતે, ૨ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ = ૭*(૧+૨+૩+૪+૫+૬+૭+૮) =7*sigma8


3 ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ = 6*(૧+૨+૩+૪+૫+૬+૭+૮) =6*sigma8
....
કુલ સરવાળો કરતાં, ૮*Sigma8 + ૭*Sigma8  + ...+૧*Sigma8  
= Sigma8 *(૮+૭+૬+૫+૪+૩+૨+૧)
= Sigma8 *Sigma8
=૮*૯ /૨ * ૮*૯ /૨ 
= ૩૬ * ૩૬ 
= ૧૨૯૬ 


End Game

વાચક બિરાદરો, આ પ્રશ્નનો વિસ્તાર કરીએ તો કેવું ? nxn  માપના બોર્ડમાં કેટલાં લંબચોરસ હોય ? એના પરથી ખુબ રસપ્રદ સંબધ બે અલગ અલગ ફોર્મ્યુલા વચ્ચે સ્થાપિત પણ કરી શકીશું.  હા થોડી મગજમારી તો કરવી પડશે.  તો જવાબ મોકલવા  તૈયાર? www .alpeshbhalala .com  પર કોમેન્ટ લખો અથવા  તો alpesh.bhalala@gmail.com પર ઈ-મેઈલ કરો. 

Chess Board Puzzle (2)

ગયા અઠવાડિયે પુછાયેલ ચેસ બોર્ડ પઝલના અનુસંધાનમાં ઘણા બધા વાંચકોએ જવાબ લખી મોકલ્યા, બધાને જવાબ આપી શકાય નથી પણ જેમના જવાબો સાચા નહોતા અથવા તો જેમને થોડી દિશા બતાવવી જરૂરી  હતી એ બધા વાંચકોને જવાબ આપેલા જ છે. ઘણા વાંચકોએ ફરીથી પ્રયત્નો કર્યા અને જવાબ સુધી પહોંચ્યા તો ઘણા વાંચકો આ પઝ્લથી પરિચિત હતા એમના માટે આ પઝલ ઉકેલવી ચપટી વગાડવા જેટલું સરળ કામ હતું. બધા પઝલ ઉકેલનાર વાંચકોના નામ અહી જગ્યાના અભાવે લખી શકાય એમ નથી પણ સૌ પ્રથમ સાચો જવાબ મોકલ્યો વૈદુર્યા ઉપાધ્યાયે. 


આ ખુબ જ પ્રચલિત, જૂની અને જાણીતી પઝલ છે છતાં ઉકેલવાની મથામણ અને માથાકૂટ કરવાની મજા એવી પઝલ છે. ચેસ બોર્ડમાં 8x8 ચોરસ ખાના હોય છે.  ઉકેલવાની શરૂઆત કરીએ 1x1 માપના ચોરસ ગણીને, જે ખુબ સરળ છે. આવા કુલ 8x8 એટલે કે 84 ચોરસ છે. હવે 2x2 ના માપના કેટલા ચોરસ છે ? બે આડી કે ઉભી હરોળમાં બાજુ બાજુના બે ખાના ધ્યાનમાં લઈએ તો કુલ સાત રીતે 2x2 માપના ચોરસ મળે. એનો મતલબ થયો કે આખા ચેસ બોર્ડમાં 7 ચોરસ આડી હરોળમાં અને 7 ચોરસ ઉભી હરોળમાં ધ્યાનમાં લેતા, 7*7 = 49 ચોરસ 2x2 માપના મળે. આ જ રીતે 3x3 માપના 6x6 એટલે કે 36 ચોરસ મળે. આ જ રીતે બધા માપના ચોરસ નીચે મુજબ મળે.


1x1 માપના ચોરસ = 8 *8 = 64
2x2 માપના ચોરસ = 7 *7 = 49
3x3 માપના ચોરસ = 6 *6 = 36
4x4 માપના ચોરસ = 5 *5 = 25
5x5 માપના ચોરસ = 4*4 = 16
6x6 માપના ચોરસ = 3*3 = 9
7x7 માપના ચોરસ = 2*2 = 4
8x8 માપના ચોરસ = 1*1 = 1


આ બધા માપના ચોરસને ગણતરીમાં લેતા, જવાબ મળે 204.


            હવે આ પરથી આ પ્રકારની પઝ્લનો વિસ્તાર સહેલાયથી થઇ શકે. ઉપરના પરિણામો  જોતા  સમજાય છે કે nxn માપના ચોરસ બોર્ડમાં કુલ

∑n ^2 ચોરસ હોય. જેની જાણીતી ફોર્મ્યુલા છે n*(n +1 )(2n+1)/6  

  

વેઇટ  વેઇટ, આ તો આપણું અનુમાન થયું કહેવાય. એક ઉદાહરણથી એક સાબિતી પર ના આવી શકાય. સારું તો વાંચકો આ અનુમાનને સાબિત કરે તો કેવું ?

હાલ પુરતું ધરી લઈએ કે વાંચકો આ સાબિત કરી આપશે. જો 10x10 ના માપનું બોર્ડ હોય તો ઉપરની ફોર્મ્યુલા મુજબ   કુલ

  

 ∑10 ^2  = 10 *(10 +1 )(20 +1 )/6  

             = 10 *11 *21 /6

             = 385

કોઈ પણ પરીક્ષા કે ઈન્ટરવ્યુંમાં આવા સવાલોના ફટાક જવાબો આપી શકાય , જો આ ફોર્મ્યુલા અથવા તો ઉકેલવાની પદ્ધતિ જાણતા હોઈએ તો. આવા કેટલાય પ્રકારના સવાલો અને એ ઉકેલવાની પધ્ધિઓ આપણે અહીં જાણતા રહેશું. 

અહીં ^ વર્ગ માટે અને * ગુણાકાર માટે વાપરેલી સાઈન છે. 

End Game:

હવે આ અંકની પઝલ. ચેસ બોર્ડમાં કુલ કેટલા લંબ ચોરસ બની શકે ? અને હા, આપણે શોધેલા ચોરસનો પણ આમાં સમાવેશ કરવાનો છે. મતલબ, દરેક દરેક ચોરસ પણ એક લંબચોરસ તરીકે ગણીશું.  તમારા જવાબ www alpeshbhalala com  સાઈટ પર પોસ્ટ કરી શકશો અથવા alpesh .bhalala@gmail .com પર ઈમેઈલ કરી શકશો. 

 ----------****---------------*****----------------****------------

ઉપરોક્ત  કોલમ આજે ગુજરાત સમાચારમાં ઘણી બધી ભૂલો સાથે છપાયેલ છે પણ અહીં તેની મૂળ કોપી મુકેલ છે. ગુજરાત સમાચારની સાઈટ પર આ કોલમ આ લીન્ક પર જોઈ શકાશે. જ્યાં "અનુમાન " શબ્દ "અપમાન" તરીકે  પણ લખાયો છે!!   




 FOLLOWING ARE THE READERS ANSWERED IT CORRECTLY in the order the answer is received !! CONGRATULATIONS and keep puzzling yourself !

1. Adil Maksat
2. Vaidurya Upadhyay
3. Jigar Patel
4. Vijay Patel
5. Achyut S. Patel, Anand
6. Manan Raval
7. Dhaval
8. Dhavalkumar Bharatbhai Chauhan, Rajpipla
9. Krupali Patel
10. Akash Khamar
11. Piyush Kamani
12. Vivek Kantariya, AHmedabad
13. Snagadiya 
14. Bachubhai B. Rawal
15. Adit Gandhi, Vadodara
16. Chirag D. Patel /Prakash D. Patel
17.Vishal Kalariya
18. Pankaj Satasia, Ranip, Ahmedabad
19. Vijay Patel
20. Kasundra Hardik Gunvantray

Chess Board Puzzle

આજે નાના મગજની ધોરી નસોને અલગ રીતે પણ ખેંચવી છે. એક કોયડાની ચર્ચા કરવી છે અને એના વડે કશુક જાણવા પ્રયત્ન પણ કરીશું. જે ઘણી બધી સ્પર્ધાત્મક પરીક્ષાઓ કે ઈન્ટરવ્યું અથવા તો શોખ માટે પણ ઉપયોગી નીવડશે.

ચાલો કોયડાની શરૂઆત આ રીતે કરીએ. ચેસ બોર્ડમાં કુલ કેટલા ચોરસ તમે બતાવી શકો ?  છે ને સિમ્પલ પઝલ ! પણ ઉતાવળ ના કરશો, ઘણા તો બોલી પણ ચુક્યા હશે કે ચોસઠ! વેઇટ, તમારો જવાબ 1x1 ના ચોરસ માટે સાચો છે પણ આપણો  પ્રશ્ન તો તમામ પ્રકારના ચોરસ શોધવાનો છે. સારું તો લગાવો તમારું મગજ અને અમને લખી મોકલો તમારો જવાબ alpesh .bhalala @gmail.કોમ પર  આવતા અંકે આ પઝલને વિસ્તારથી સમજીશું અને એનો વિસ્તાર પણ કરીશું!


This is from Gujarat Samachar of 14th July, 2010. For more puzzles and Student@Competition, visit http://studentatcompetition.blogspot.com/


Correct Answers so far I got from:


1. Vaidurya Upadhyay
2. Vishal Patel
3. Komil Shah
4. Ashish Mehta
5. Snehal Patel
6. Riken Patel
7. Virendra Pandya
8. Bhavin Zalavadia
9. Meghavi Chauhan (5th Standard student)
10. Piyush Kamani
11. Tejas Patel
12. Riken Gabani
13. Darshak Parikh
14. Vijay Patel
15. Naren Patel
16. Dipak Prajapati
17. Kishor
18. Rashmikant Bhavsar
19. Rahul Patel
20. Bhupen Patel
21. Vidhi Shah
22. Musebkhan Pathan
23. Gargi Joshi
24. Harshal Shah
25. Jaydeeip
26. Sachin Patel
27. Raviraj Soni
28. Dipak Nimje
29. Kiritsinh Vaghela
30. Mukesh Mehta
31. Hetali Soni
32. Varunesh Goyal
33. Keval Sanchde
34. Het Adhvaryu
35. Jimit Banker
36. Adil Maksati
37. Rajdeep Ratpiya
38. Jagdish Panchal
39. Chintan Patel
40. Harshal Langaliya
41. Sejal Shah
42. Vyanjan Dave
43. Hetal
44. Brijesh Patel
45. Ravi Kubavat
46. Jitendra Mandvia
47. Sandeep Shah
48. Taresh
49. Purvit Soni
50. Viral Rathod
51. Shreyas Patel
52. Rasesh Patel
53. Chintan Nanavati
54. Devarshi Pandya
55. Kunal Dhami
56. Jigar Prajapati
57. Krishana Thaker
58. Piyush Virdiya
59. Sandip Bhatt
60. Sweta Parikh
61. Hardik Rashik
62. Ruta Kotecha
63. Komal Guddy
64. Hardik
65. Yatharth Vaishnani
66. Kamal Patel
67. Shivangi Mistry
68. Krunal Mangroliya
69. Pragnesh Suthar
70. Meet Joshi
71. Dinesh Solanki
72. Unnati Bhojak/Hemang Bhojak
73. Ashish Raiyani 
74. Anish Patel





and many more readers tried it or trying it. While you are counting squares I will keep counting correct answers! Thanks for all your responses.

Google Video Chat

Enabling Google Video chat is very easy still I heard getting issue enabling it. This is what Google has to say in response to all these queries.