Tuesday, July 27, 2010

Chess Board Puzzle (2)

ગયા અઠવાડિયે પુછાયેલ ચેસ બોર્ડ પઝલના અનુસંધાનમાં ઘણા બધા વાંચકોએ જવાબ લખી મોકલ્યા, બધાને જવાબ આપી શકાય નથી પણ જેમના જવાબો સાચા નહોતા અથવા તો જેમને થોડી દિશા બતાવવી જરૂરી  હતી એ બધા વાંચકોને જવાબ આપેલા જ છે. ઘણા વાંચકોએ ફરીથી પ્રયત્નો કર્યા અને જવાબ સુધી પહોંચ્યા તો ઘણા વાંચકો આ પઝ્લથી પરિચિત હતા એમના માટે આ પઝલ ઉકેલવી ચપટી વગાડવા જેટલું સરળ કામ હતું. બધા પઝલ ઉકેલનાર વાંચકોના નામ અહી જગ્યાના અભાવે લખી શકાય એમ નથી પણ સૌ પ્રથમ સાચો જવાબ મોકલ્યો વૈદુર્યા ઉપાધ્યાયે. 


આ ખુબ જ પ્રચલિત, જૂની અને જાણીતી પઝલ છે છતાં ઉકેલવાની મથામણ અને માથાકૂટ કરવાની મજા એવી પઝલ છે. ચેસ બોર્ડમાં 8x8 ચોરસ ખાના હોય છે.  ઉકેલવાની શરૂઆત કરીએ 1x1 માપના ચોરસ ગણીને, જે ખુબ સરળ છે. આવા કુલ 8x8 એટલે કે 84 ચોરસ છે. હવે 2x2 ના માપના કેટલા ચોરસ છે ? બે આડી કે ઉભી હરોળમાં બાજુ બાજુના બે ખાના ધ્યાનમાં લઈએ તો કુલ સાત રીતે 2x2 માપના ચોરસ મળે. એનો મતલબ થયો કે આખા ચેસ બોર્ડમાં 7 ચોરસ આડી હરોળમાં અને 7 ચોરસ ઉભી હરોળમાં ધ્યાનમાં લેતા, 7*7 = 49 ચોરસ 2x2 માપના મળે. આ જ રીતે 3x3 માપના 6x6 એટલે કે 36 ચોરસ મળે. આ જ રીતે બધા માપના ચોરસ નીચે મુજબ મળે.


1x1 માપના ચોરસ = 8 *8 = 64
2x2 માપના ચોરસ = 7 *7 = 49
3x3 માપના ચોરસ = 6 *6 = 36
4x4 માપના ચોરસ = 5 *5 = 25
5x5 માપના ચોરસ = 4*4 = 16
6x6 માપના ચોરસ = 3*3 = 9
7x7 માપના ચોરસ = 2*2 = 4
8x8 માપના ચોરસ = 1*1 = 1


આ બધા માપના ચોરસને ગણતરીમાં લેતા, જવાબ મળે 204.


            હવે આ પરથી આ પ્રકારની પઝ્લનો વિસ્તાર સહેલાયથી થઇ શકે. ઉપરના પરિણામો  જોતા  સમજાય છે કે nxn માપના ચોરસ બોર્ડમાં કુલ
∑n ^2 ચોરસ હોય. જેની જાણીતી ફોર્મ્યુલા છે n*(n +1 )(2n+1)/6  
  
વેઇટ  વેઇટ, આ તો આપણું અનુમાન થયું કહેવાય. એક ઉદાહરણથી એક સાબિતી પર ના આવી શકાય. સારું તો વાંચકો આ અનુમાનને સાબિત કરે તો કેવું ?
હાલ પુરતું ધરી લઈએ કે વાંચકો આ સાબિત કરી આપશે. જો 10x10 ના માપનું બોર્ડ હોય તો ઉપરની ફોર્મ્યુલા મુજબ   કુલ
  
 ∑10 ^2  = 10 *(10 +1 )(20 +1 )/6  
             = 10 *11 *21 /6
             = 385

કોઈ પણ પરીક્ષા કે ઈન્ટરવ્યુંમાં આવા સવાલોના ફટાક જવાબો આપી શકાય , જો આ ફોર્મ્યુલા અથવા તો ઉકેલવાની પદ્ધતિ જાણતા હોઈએ તો. આવા કેટલાય પ્રકારના સવાલો અને એ ઉકેલવાની પધ્ધિઓ આપણે અહીં જાણતા રહેશું. 

અહીં ^ વર્ગ માટે અને * ગુણાકાર માટે વાપરેલી સાઈન છે. 

End Game:

હવે આ અંકની પઝલ. ચેસ બોર્ડમાં કુલ કેટલા લંબ ચોરસ બની શકે ? અને હા, આપણે શોધેલા ચોરસનો પણ આમાં સમાવેશ કરવાનો છે. મતલબ, દરેક દરેક ચોરસ પણ એક લંબચોરસ તરીકે ગણીશું.  તમારા જવાબ www alpeshbhalala com  સાઈટ પર પોસ્ટ કરી શકશો અથવા alpesh .bhalala@gmail .com પર ઈમેઈલ કરી શકશો. 
 ----------****---------------*****----------------****------------
ઉપરોક્ત  કોલમ આજે ગુજરાત સમાચારમાં ઘણી બધી ભૂલો સાથે છપાયેલ છે પણ અહીં તેની મૂળ કોપી મુકેલ છે. ગુજરાત સમાચારની સાઈટ પર આ કોલમ લીન્ક પર જોઈ શકાશે. જ્યાં "અનુમાન " શબ્દ "અપમાન" તરીકે  પણ લખાયો છે!!   




 FOLLOWING ARE THE READERS ANSWERED IT CORRECTLY in the order the answer is received !! CONGRATULATIONS and keep puzzling yourself !

1. Adil Maksat
2. Vaidurya Upadhyay
3. Jigar Patel
4. Vijay Patel
5. Achyut S. Patel, Anand
6. Manan Raval
7. Dhaval
8. Dhavalkumar Bharatbhai Chauhan, Rajpipla
9. Krupali Patel
10. Akash Khamar
11. Piyush Kamani
12. Vivek Kantariya, AHmedabad
13. Snagadiya 
14. Bachubhai B. Rawal
15. Adit Gandhi, Vadodara
16. Chirag D. Patel /Prakash D. Patel
17.Vishal Kalariya
18. Pankaj Satasia, Ranip, Ahmedabad
19. Vijay Patel
20. Kasundra Hardik Gunvantray


11 comments:

DARPAN said...

ANSWER OF TODAY QUESTION IS 1134 OR928 RECTANGLE

dhaval said...

1296 rectangles

Dhaval Chauhan said...
This comment has been removed by a blog administrator.
krupali patel said...
This comment has been removed by a blog administrator.
krupali patel said...

ans of 2days puzzle is 1296 as {(summation of(n))to the power 2 i.e (1+2+3+...+8)=36 & 36*36=1296 & not
summation of(n square).

Anonymous said...

I THINK ANSWER SHOULD 1296.
SIGMA N=1 TO N=8 (N-1)N^2.

KHAMAR AKASH said...

I THINK ANSWER SHOULD 1296.
SIGMA N=1 TO N=8 (N-1)N^2.

krupali patel said...
This comment has been removed by a blog administrator.
krupali patel said...
This comment has been removed by a blog administrator.
Adit said...

i think there are 1296 rectangles in the chess board..
adit gandhi.

Milap Salot said...

The answer of puzzle of n*n square is (n^2 /4)(n+1)^2 rectangles.
1*1 squares are n*n
+1*2 squares are n*(n-1)
.
.
.
+1*n squares are n*(1)
ths equals to n*(n/2)(n+1)
(Arithmatic progression)
like this,
.
.
.
n*n squares are 1
So the total is ((n/2)(n+1))((n/2)(n+1))
(n^2 /4) * (n+1)^2