Wednesday, October 27, 2010

ત્રણ મિત્રો, કુતરો અને પેંડા !

ગયા અંકનો સવાલ: 

ત્રણ મિત્રો દશેરા પર પેંડા લાવ્યા.  પણ દશેરાનો ઉપવાસ હોય ખાઈ શક્યા નહિ. નક્કી થયું સવારે ઉઠીને ખાશું! બે વાગ્યે એક મિત્ર ઉભો થયો અને કડકડતી ભૂખ લાગી હતી, વિચાર્યું કે બાર વાગ્યા પછી તો ખવાય. પેંડા ત્રણ સરખા ભાગે વહેંચ્યા અને એક પેંડો વધ્યો એ ફળિયામાં સુતેલાં કુતરાને નાખી દીધો, પોતાના ભાગના પેંડા ખાઈ (પેટ પર હાથ ફેરવતાં !) ઊંઘી ગયો. આવું જ બીજા મિત્ર સાથે પણ થયું. ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો, પોતાનો ભગ ખાઈ લીધો અને સુઈ ગયો. અને ત્રીજા મિત્રની આંખ ખુલી તો એણે પણ આવું જ કર્યું. ( આખરે ત્રણેય મિત્રો ખરા ને !). સવારે બધા ઉઠ્યા, ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો ( હવે, કુતરો ધરાઈ ગયો !) સૌ પોતપોતાનો ભાગ ખાઈ ગયા !

હવે આ વાર્તા પછી સવાલ એ થયો કે, તો પેંડા હશે કેટલાં? ( સૌથી નાની સખ્યા શોધવી, નહિ તો આ લોકો ખાઈ નહિ શકે !)


જવાબ:
૭૯.

લગભગ ૮૦ % જવાબો સાચા મળ્યા, પણ માત્ર ૧-૨% લોકોએ જ ખરી સાબિતી આપી. મહદ અંશે બધાએ ફક્ત "તાળો જ મેળવ્યો"! જવાબ કેવી રીતે આવ્યો એ અગત્યનું છે નહિ કે તમે ધારેલો જવાબ સાચો જ છે એ ચકાચવાનું !! ૭૯ પેન્ડામાંથી એક કુતરાને નાખ્યોને ૭૮ન ત્રણ ભાગ કર્યા, વગેરે વગેરે એ સાબિતી નથી. એ તાળો મેળવ્યો કહેવાય અને તાળો મેળવતાં પહેલાં જવાબ મેળવવાની પક્રિયાનો અધ્યાહાર ના ચાલે.
આ કોયડો આપણે ત્યાં ખુબ પ્રખ્યાત છે.  (અને કદાચ એટલે જ ઢગલાબંધ જવાબો મળ્યા.) પણ આવો જ એક કોયડો દુનિયાના બીજા દેશોમાં પણ પ્રચલિત છે  જે છેલ્લે આજની એન્ડ ગેમમાં મુકેલ છે.

ચાલો હવે ઉકેલ જોઈએ.  બે મુખ્ય રીતે આ સવાલ ઉકેલી શકાય. ૧) સવારે બધા મિત્રો ઉઠ્યા ત્યારે ધારો કે "અ" પેંડા હતાં. અને આ ગણતરી આ જ રીતે ઉંધા ક્રમમાં ચાલે. ૨) ધારો કે "અ" પેંડા લાવ્યા. પહેલાં મિત્રે ત્રણ ભાગ પાડ્યા. અને ગણતરી આગળ ચાલે. બંને રીતે છેલ્લે એક સમીકરણ મળશે જે પૂર્ણાંક માટે ઉકેલતાં જવાબ મળશે. પ્રથમ રીતથી આ સવાલ ઉકેલતાં સમીકરણ ખાસ અઘરું  નહિ બને કારણ કે આપણે દરેક વખતે ૩થી ભાંગવા નહિ પડે.

ધારો કે સવારે ઉઠ્યા ત્યારે  દરેકના ભાગે x  પેંડા આવ્યા. મતલબ કુલ 3x +૧  પેંડા સવારે રહ્યા હતાં.

ત્રીજો મિત્ર ઉઠ્યો ત્યારે કુલ  ૧/૨ (  3x +૧  ) + ( 3x +૧) +૧  = ૧/૨ ( ૯x + ૫ ) પેંડા હશે.

બીજો મિત્ર ઉઠ્યો ત્યારે કુલ (૯x +૫ )/ ૪  + ૧/૨  ( ૯ x   +૫ )  +૧ = ૧/૪ (૨૭ x + ૧૯)

એ જ રીતે પ્રથમ મિત્ર ઉઠ્યો ત્યારે, ૧/૮ ( ૮૧ x + ૬૫ ) પેંડા હશે .

હવે, ૧/૮ ( ૮૧ x + ૬૫ ) =  ૧૦  x   + ૮  + ૧/૮ (x   + ૧  )


અહી પેંડાની સખ્યા પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય અને x પણ પૂર્ણાંક સંખ્યાહોય, ૧/૮ ( x + ૧ ) પૂર્ણાંક સંખ્યા જ હોય.  માટે x +૧  એ ૮થી ભાજ્ય સંખ્યા હોવી જોઈએ.  આવી સૌથી નાની સંખ્યા મેળવવા x +૧ = ૮ લેતા x = ૭ મળે. મતલબ સવારે ઉઠી દરેક મિત્રના ભાગમાં સાત પેંડા આવ્યા. 

કુલ પેંડા = ૧૦  x   + ૮  + ૧/૮ (x   + ૧  )  = ૧૦*૭+૮+૧ = ૭૯.
 જવાબ આપનાર વાંચકો:
સંપૂર્ણ સાચા જવાબો  માત્ર નીચેના વાંચકોએ આપ્યા!

વૈભવ શાહ,ભરૂચ 
પીયૂષ પટેલ, ન્યુ જર્સી, અમેરિકા 
દિપાલી વી શાહ, કપડવંજ
કલ્પેશ અખાણી, રાધનપુર

સરસ પ્રયત્ન કરનાર વાંચકો:
પાર્થ મહેતા, વેજલપુર
કમલનયન  કિનારીવાલા
મુકુલ ત્રિવેદી, અમદાવાદ
ઉમંગ સુતરિયા
અક્ષય પટેલ, મોટી ખડોલ  
સુપાશ્ર્વ મહેતા

સાચો જવાબ મોકલનાર સૌ વાંચકોના નામ www .alpeshbhalala .com  પર મુકેલાં છે.

End Game

પાંચ માણસો પ્લેન તૂટતાં એક નિર્જન ટાપુ પર ફસાયા.  પહેલાં દિવસે ટાપુ પરથી તેઓએ નાળીયેરભેગા કર્યા. સાંજે અંધારું થઇ જતા નક્કી કર્યું કે હવે કાલે ભાગ પાડીશું.  રાત્રે  સાવચેતીના ભાગ રૂપે દર-એકે જાગવાના વારા રાખ્યા. પહેલો માણસ થોડી વાર પછી ચોકી કરીને કંટાળ્યો. નવરાશના સમયનો ઉપયોગ કરવા એણે નાળીયેરના પાંચ ભાગ કર્યા, એક નાળીયેર વધ્યું, જે તેણે વાંદરાને આપી દીધું. પોતાનો ભાગ સંતાડી દીધો. બાકીના ચાર ભાગનો એક ઢગ બનાવી દીધો.  લાંબી વાર્તા ટૂંકમાં, દરેક માણસે આવું કર્યું. સવારે બધાએ સરખા ભાગ પડી લીધા, વાંદરાને આપવાની જરૂર ના પડી. આવી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ અથવા તે લોકોએ કેટલાં નાળીયેર ભેગા કર્યા હશે ? બીજો પ્રશ્ન, દરેકના ભાગે કેટલાં નાળીયેર આવ્યા હશે?

જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com  પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.

બધા જ ખરા જવાબ મોકલનાર વાંચકો:
વી પી મેહતા
ભાવેશ ઝીન્ઝાળા
સુથાર રોનક
સંજય પટેલ
દર્શન ત્રિવેદી
નીતિન રામચંદાની
વિશાલ સાઈમન
જનક પંચાલ
અંકિતા નસીત
રાજેશ કાસુન્દ્રા
હિતેશ ભાલીયા
વિરલ ફીચડીયા
હની પી શાહ
ડો સમીર દાણી
રોનક રાવલ
મિતેશ પટેલ
જયદીપ પટેલ
ડો હિતેશ ભાલીયા
સુમિત વાલુ
આરતી કાશીપરા
નિરાળી અમૃતિયા
કેવળ શાહ
અનિલકુમાર શાહ
દિવ્યેશ પોલરા
પ્રવીણ શાહ
ચિરાગ પંડ્યા
નિધિ મકવાણા
રિદ્ધિ પંડ્યા
ફાલ્ગુની દોશી
હેમંત પંડ્યા
એસ બી મહાજન
અસારી જેમ્સ
દિનેશ વકીલ
શિવાંગ સોની
અમી પટેલ
ભારતી સોલંકી
અરીફ્ખાન પઠાણ
કનુભાઈ પટેલ 
જયમીન પરીખ
શિવાંગ વચ્ચરાજાની
દૈનિક શાહ
ભાવેશ નાકરાણી
મહેન્દ્ર પ્રજાપતિ
રેણુકા ત્રિવેદી
નિસર્ગ ત્રિવેદી
એકતા પટેલ
અંકિત બાર્વે
વીજેશ સવાણી
પ્રણવ જોશી
પ્રણાલી ભટ્ટ
પીયુષ શાહ
મોહમ્મદ
હિમાંશુ જોશી
હીના રાદડિયા
રીતેશ ગજરે
નિરંજન બારિયા
ભૈરવ ભંડારી
હિતેશ સંઘવી
ભાવેશ હડીયલ
મલેક રીયાઝ અનવર
હિતેશ પોકાર
રાજ દિગ્વિજયસિંહ
સમીર રાવલ
એન ડી પટેલ
જીગરસિંહ વાઘેલા
જયેન્દ્રભાઈ સગલાની
અભય પટેલ
ઉપેન્દ્ર મહેતા
રીન્કુ મકવાણા
મયુર પટેલ
દીપક  પ્રજાપતિ
 અજય પટેલ
બી સી વી
ધીરજ પટેલ
લલિત વાઢેર
ભાવિક ચૌહાણ
રીકેન ગાબાણી
વિપુલ વાઢેર
પીયુષ કામાની

આભાર સૌ મિત્રોનો આટલા ઉત્સાહથી જવાબો મોકલવા બદલ !










2 comments:

Dipali said...

Dear Alpesh bhai
considering total no coconuts are X and in the first a1 is given to monkey and so on A2 A3 ... and in the last partition A0 coconuts to monkey (in this case it is ZERO) than last person will get total no of coconuts in last partition will be

{(X^(N-1)-(N-1)^N A1 -(N-1)^(N-1)*N*A2-(N-1)^(N-2) *N^2*A3....-N^N*A0} /(N^(N+1)

(4^5*X-4^5-4^4*5-4^3*5^2-4^2*5^3 - 4*5^4)/5^6

=(1024*X - 8404)/15625 IS INTEGER
SO
X = (15625 * P + 8404)/ 1024
= 15 P + 8 + (265 P +212 ) /1024
=15 P +8 + 53 ( 5P + 4) /1024

so (5P + 4) /1024 shall be an integer

so
P = ( 1024 * (int) - 4 ) / 5

for smallest no (1024 * 1 - 4) / 5

= 1020/5
=P = 204

x = (15625 * 204 + 8404)/ 1024

=3121 = TOTAL NO OF COCONUTS



NOW FIRST PERSON GETS X-1/5 = 624 AT FIRST TIME
now calculating for each partition we get

1st person will get 624
2nd person will get 499
3rd person will get 399
4th person will get 319
5th person will get 255
in last partition everybody will tet 204

not for total no of coconuts
first person will get 624 in first and 204 in last partition

SO TOTAL NO OF COCONUTS FOR FIRST PERSON IS

= 624 + 204 = 828

SIMILARLY WE CAN FIND FOR OTHER PERSONS

FOR 2ND PERSON 703
FOR 3RD PERSON 603
FOR 4TH PERSON 523
FOR 5TH PERSON 459

Dipali V Shah
Kapadvanj.

Himanshu said...

ધારો કે સવારે દરેક ના ભાગ માં X નાળીયેર આવે.
તેથી સવારે રહેલા નાળીયેર ની સંખ્યા 5X હોય.

પાંચ મો છોકરો ઉઠ્યો ત્યારે રહેલ નાળીયેર ની સંખ્યા ૫ X / ૪ + ૫ X +૧ = (૨૫ X + ૪) / ૪

તેજ રીતે ક્રમશઃ ચોથો , ત્રીજો , બીજો, અને પ્રથમ માટે નાળીયેર ની સંખ્યા .

(૨૫ X+ ૪) / ૧૬ + (૨૫ X + ૪) / ૪ + ૧ = (1૨૫ X + ૩૬ ) / ૧૬
(૧૨૫ X + ૩૬ ) / ૬૪ + ( ૧૨૫ X + ૩૬) / ૧૬ + ૧ = ( ૬૨૫ X + ૨૪૪) / ૬૪
(૬૨૫ X + ૨૪૪) / ૨૫૬ + ( ૬૨૫ X + ૨૪૪ ) / ૬૪+ ૧ = (૩૧૨૫ X +૧૪૭૬) / ૨૫૬
(૩૧૨૫ X + ૧૪૭૬ ) / ૧૦૨૪ + ( ૩૧૨૫ X + ૧૪૭૬) / ૨૫૬ + ૧ = (૧૫૬૨૫ X +૮૪૦૪) / ૧૦૨૪

હવે (૧૫૬૨૫ X ૮૪૦૪ ) / ૧૦૨૪ એ કુલ નાળીયેર ની સંખ્યા છે .

જેને ૧૫ X + ૮ + ( ૧ / ૧૦૨૪ ) (૨૬૫ X + ૨૧૨ )
અહી ( ૧ / ૧૦૨૪ ) (૨૬૫ X + ૨૧૨ ) એ એક પૂર્ણાંક સંખ્યા જ હોવી જોઈએ માટે X = ૨૦૪ લેતા , નાનામાં નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા મળે

X = ૨૦૪ ઉપર ના સમીકરણ માં મુક્તા કુલ નાળીયેર ની સંખ્યા ૩૧૨૧ મળે.

આમ કુલ નાળીયેર ની સંખ્યા ૩૧૨૧ અને સવારે દરેક ના ભાગમાં ૨૦૪ નાળીયેર આવે.

my name is himanshu jogi from sihor