Wednesday, October 20, 2010

Student@competition

ગયા અંકનો સવાલ :

એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં  ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં  હશે?


જવાબ :
ખાના નંબર ૧,૪,૯,૧૬,૨૫,૩૬,૪૯,૬૪,૮૧,૧૦૦ ખુલ્લાં હશે બાકી રહેલાં ખાનાઓ બંધ હશે.

દરેક નંબરના જેટલા અવયવો હોય એટલી વખત એ નંબરનું ખાનું ખોલ-બંધ થશે. ઉદાહરણ, ૬ નંબરના ખાનાને કોણ કેટલી વખત ખોલ-બંધ કરે છે તે જોઈએ. પ્રથમ નંબરનો વિદ્યાર્થી આ ખાનું ખોલશે, બીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી આ ખાનું બંધ કરશે, ત્રીજા નંબરનો વિધ્યાર્થી આ ખાનું ખોલશે અને છઠ્ઠા નંબરનો વિદ્યાર્થી આ ખાનું બંધ કરશે. કારણ કે ૬ના અવયવો છે ૧,૨,૩ અને ૬. આમ, જો અવયવોની સંખ્યા એકી હોય તો જ આ ખાનું છેલ્લે સુધી ખુલ્લું રહે. આપણાં ઉદાહરણમાં ૪ અવયવો છે માટે આં ખાનું છેલ્લે બંધ હશે. હવે સવાલ રહ્યો એવા નંબર ( સો કે તેથી નાના ) શોધવાનો જેના અવયવોની સંખ્યા એકી હોય. દા.ત. નંબર ૧. જેને એક માત્ર અવયવ છે ૧ પોતે. થોડા વધુ નંબર તપાસતાં ( અથવા ગાણિતિક સિધ્ધાંત, દરેક પૂર્ણ વર્ગ સખ્યાઓને એકી સખ્યામાં અવયવો હોય ) જણાશે કે ૪, ૯, ૧૬.. વગેરે પૂર્ણ વર્ગ સખ્યાઓને એકી સખ્યામાં અવયવો છે. (કેમ?? ) આમ ૧૦૦ કે તેથી નાની સખ્યાઓ મળે છે ૧,૪,૯,૧૬,૨૫,૩૬,૪૯,૬૪,૮૧ અને ૧૦૦. આ નંબરના ખાનાઓ છેલ્લે સુધી ખુલ્લાં રહેશે અને બાકીના ખાનાઓ બંધ રહેશે.  છે ને રસપ્રદ! ગણિતના એક સુક્ષ્મ સિદ્ધાંતના ઉપયોગથી અઘરી લગતી પઝલ પળવારમાં ઉકેલી શકાય છે!

પઝલ ઉકેલનાર વાંચકો:
આનંદ ગૌતમ
પીયુષ કામાણી, થોરીયાળી
આશિષ પટેલ
મુસેબખાન પઠાણ, રતનપુર
દિપાલી વી શાહ, કપડવંજ
વૈભવ શાહ, ભરૂચ
પહેલાં બે દિવસમાં મળેલાં જવાબો પરથી આ લીસ્ટ બનેલું છે.
 
End Game :
 
ત્રણ મિત્રો દશેરા પર પેંડા લાવ્યા.  પણ દશેરાનો ઉપવાસ હોય ખાઈ શક્યા નહિ. નક્કી થયું સવારે ઉઠીને ખાશું! બે વાગ્યે એક મિત્ર ઉભો થયો અને કડકડતી ભૂખ લાગી હતી, વિચાર્યું કે બાર વાગ્યા પછી તો ખવાય. પેંડા ત્રણ સરખા ભાગે વહેંચ્યા અને એક પેંડો વધ્યો એ ફળિયામાં સુતેલાં કુતરાને નાખી દીધો, પોતાના ભાગના પેંડા ખાઈ (પેટ પર હાથ ફેરવતાં !) ઊંઘી ગયો. આવું જ બીજા મિત્ર સાથે પણ થયું. ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો, પોતાનો ભગ ખાઈ લીધો અને સુઈ ગયો. અને ત્રીજા મિત્રની આંખ ખુલી તો એણે પણ આવું જ કર્યું. ( આખરે ત્રણેય મિત્રો ખરા ને !). સવારે બધા ઉઠ્યા, ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો ( હવે, કુતરો ધરાઈ ગયો !) સૌ પોતપોતાનો ભાગ ખાઈ ગયા !

હવે આ વાર્તા પછી સવાલ એ થયો કે, તો પેંડા હશે કેટલાં? ( સૌથી નાની સખ્યા શોધવી, નહિ તો આ લોકો ખાઈ નહિ શકે !)

તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com  પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.

17 comments:

Anonymous said...

very good Alpeshbhai, thanks for giving mental exercise
CA Mukund Trivedi

viral said...

Answer would be 79.
26+26+26+1
factoring 52
17+17+17+1
same way
11+11+11+1
and the last
7+7+7+1.

viral fichadiya

Anonymous said...

79 penda.....Honey P.shah

Dr.Samir said...

79 pedas... the equation is as follows:
26+26+26+1=79
17+17+17+1=52
11+11+11+1=34
07+07+07+1=22

Dr Samir Dani (Ahmedabad)

jain shraddha said...

no of sweetmeat is 73

ronak raval said...

79=26*3+1
52=17*3+1
34=11*3+1
22=7*3+1

Ronak Raval (Deodar)
Mob.No 9374023241

mitesh said...

79=26+26+26+1
52=17+17+17+1
34=11+11+11+1
22=7+7+7+1


Mitesh Patel (Falu-VIjapur)

Cont No 9724026672

Anonymous said...

there is good diet for brain to keep it alive
there were 79 PENDA at starting
Thanks
jaydip patel
E-mail:j_dip@rediffmail.com

Anonymous said...

Iska ans:79

pehla aapne penda ni sankhya dharo ke 3x+1 6e.......

have 1st mitra 3 bhag kare 6e ne 1 penda kutra ne nakhe 6e.

1st 2nd 3rd
x x x 1

have baki vadhya penda=2x.

have 2nd mitra 3 bhag kare 6e ne 1 pendo kutra ne nakhe 6e

have dharo ke 2x=3y+1............ 3y+1
x = -------- ........................<1
1st 2nd 3rd 2
y y y 1

have baki vadhya penda=2y.

have 3rd mitra 3 bhag kare 6e ne 1 pendo kutra ne nakhe 6e

have baki vadhya=2y

have dharo ke 2y=3z+1........ .3z+1
y = ------- ........................<2
1st 2nd 3rd 2
z z z 1

have baki vadhya penda=2z.

have badha mitro savare penda na 3 bhag kare 6e ne 1 pendo kutra ne nakhe 6e.......

have dharo ke 2z=3w+1........... 3w+1
z = -------- ...........................<3
1st 2nd 3rd 2
w w w 1

now from equestion 1,2,3 ..........

from equ (3) & (2)


9w+5
y = ---------- ......................................<4
4

from equ (4) & (1)



27w+19
x = ---------- ......................................<5
8


now penda = 3x+1


81w+19
so 3x+1= -------------
8

have na-nama nani sankyake je aa badha equestion solve kare ke je badha equestion ma fraction vina ni sankhaya aave te six(6) chhe.

so 3x+1=79................final ans...

my name is parth mehta from ahmedabad , vejalpur

ronak kamani said...

160 penda hata

Dipali said...

Dear Alpeshbhai,
Considering total no of sweets are X
So total sweets eaten by 1st person

( X-1)/3

So total sweets remained after 1st person has eaten his share is

2*( X-1)/3

So total sweets eaten by 2nd person [{(2 X-2)/3}-1]/3
= (2X – 5) /9
So total sweets remained after 2nd person has eaten his share is

2 * (2X – 5) /9

So total sweets eaten by 3rd person {(4 X -10)/9 }– 1)/3
= (4 X -19 )/27
So total sweets remained after 3rd person has eaten his share is

2 * (4 X -19 )/27

This is again shared by all the three friends

So total sweets for each person in will be
[{(8X -38)/27}/1]/3

= ( 8 X -65)/81

= (8 X + 16 -81)/81

= ( 8 * (x+ 2)/81) - 1

Now no one has broken the sweet so

(x + 2)/81 shall be integer.

Therefore (X + 2) / 81 = A
Therefore X = 81 A -2
Now for minimum amount of sweet take A = 1 => X = 79
So total no of sweet taken were 79 pieces


Dipali V Shah
Kapadvanj

sumit valu said...

the answer is 79 Sumit Valu

Dr hitesh bhaliya (baroda) said...

end game 20/10/10
my ans is : 79 penda

falguni said...

79 Penda hata
Falguni Doashi vadodara

Gajjar Tejas Rameshbhai said...

HI I'M ENGINEERING STUDENT.I WANT TO SALVE DIFFICULT PUZZLES. LET THE X=TOTAL પેંડા

(1) AT 12:01AM FRIEND1 EAT X પેંડા AND LEAVE K1 પેંડા.

SO K1=(X1-1)\3...<1>

(2) AT 12:11AM FRIEND2 EAT K1 પેંડા AND LEAVE K2 પેંડા

SO K2=(K1-1)\3...<2>

(3) AT 12:21AM FRIEND3 EAT K2 પેંડા AND LEAVE K3 પેંડા

SO K3=(K2-1)\3...<3>

(4) AT સવારે FRIEND1 EAT K3 પેંડા AND LEAVE K4 પેંડા(ત્રણેય મિત્રો પેંડા ખાઈ ગયા)

SO K4=(K3-1)\3 =0(ત્રણેય મિત્રો પેંડા ખાઈ ગયા)...<4>

SOLVING EQ 1,2,3,4 WE GET THE

X=TOTAL પેંડા=121


THE TOTAL પેંડા 121...ANS

Anonymous said...

Three thieves A,B and C went to the mango garden. They thest mangoes. They hid in the temple. At night they slept there. After some time C got up. He saw A and B were sleeping. He counted mangoes. He found that there was one more mango if the manoges were qually divided. Their are mango and his part he hide and slept. After some time B got up. He saw A and C sleeping. He found that there was an more mango if the mangoes were equally divided. This mango and his part he hide and slept. A also had done the same. At the early morning they counted mangoes. They found that there was one more mango of the mangoes were equally divided. They put this mango in the temple and took their own part. Now, question is how many mangoes did they stead.?
Suppose, At the last in distribution they got x mangoes each. so, there were 3x + 1 mangoes. When A get up and went to the heap of mangoes there would be 3x + 1 + 3x + ½ + 1 mangoes.
By simplification it is 9x + 5 /2. When B got up and went to the heap of mangoes there would be 9x + 5 /2 + 9x + 5 /4 +1 mangoes.
By simplification it is 27x +19 /4. when C got up and went to the heap of mangoes there would be.
By simplification it is so they stale mangoes.
79 is the smaller number sati sting the question. In genral, for every solution. It is a sequence whose first term is 7 and common difference is 8.
x = a + ( n – 1 ) d
= 7 + ( n – 1 )
= 8n – 1
Put x = 8n – 1 into 81x + 65 /8
81n – 2 is the genral formulla for the every solutions. All the solutions are 79,160,241,322, 403...

Hi!ren $hah said...

"Ans. of student @ competition-17/11/2010 ,shatdal"

no. of boxes=3;
no. of black marbles=3;
no. of white marbles=3;

now let us assume that,

box a is labeled=white-white
box b is labeled=white-black
box c is labeled =black-black

now as said in problem there is no any black marble in black-black labeled box c.
<=> box c must contain both white marbles.-----------(1)
so, without opening box c we can change the label to white-white.


now for box a and b the solution is as below:

both label are wrong for both boxes.

for box a:
possible labels are:

white-black or black-black

for box b:
possible labels are:

white-white or black-black

now here for box b we can not label white-white because we have already labeled c with white-white
(from eq.no.(1))

<=> box b remains with only one possibility of label black-black-------------(2)

and finally remaining one label of white-black goes with box a-----(3)


<=> from eq.(1),(2),&(3) without opening a single box we are able to change the labels.




ans=0 box should be open



regards,
Hiren Anand Shah
B.TECH-IT(2nd year)
Dharmsinh Desai University,nadiad

25,shankar park so.
o/s ahmedabadi gate,
nadiad-gujarat-387001

mobile:+91 9067997529

e-mail:hirenshah111@gmail.com