આપણે ગયા અંકમાં ચેસ બોર્ડમાં રહેલાં કુલ ચોરસ જુદા માપ ધરાવતાં ચોરસ ગણ્યા હતાં દા.ત. ૧x૧, ૨x૨ વગેરે માપના કેટલા ચોરસ છે અને બધાને ઉમેરતાં આપણે ૨૦૪ ચોરસ મેળવ્યા હતાં. આ રીતે કોઈ પણ માપના ( દા. ત. ૧૦x૧૦ ખાનાવાળા ) બોર્ડમાં કેટલા ચોરસ છે એ શોધવાની કી શોધી. પછી એ ફોર્મ્યુલાનું ( nxn માપના બોર્ડ માટે કુલ n*(n +1 )(2n+1)/6 ચોરસ મળે ) માપના વિસ્તરણ કરીને કોઈ પણ માપના ખાનાવાળા બોર્ડ માટે બનાવી. પણ એ સાબિત કરવાનું વાંચકો પર છોડ્યું હતું.
આ પ્રકારના પ્રશ્નો ઉકેલવાની શ્રેષ્ઠ પદ્ધતિ છે ગણિતીય નિગમન( Mathematical Induction ). જે મુજબ આપણે વિધાનને n = ૧ માટે સાબિત કરીશું. બીજા સ્ટેપમાં, ધારો કે n માટે વિધાન ખરું છે તો n +1 પણ ખરું એ વિધાન ખરું હોય.
n = ૧ લેતાં, ૧x૧ માપના બોર્ડમાં રહેલાં કુલ ચોરસ આપની ફોર્મ્યુલા મુજબ ૧*(૧+૧)*(૨+૧)/૬ = ૧ મળે જે ૧x૧ના ચોરસ માટે દેખીતી રીતે જ ખરું છે.
હવે ધારો કે n માટે આ વિધાન સાચી છે મતલબ nxn માપના ચોરસ બોર્ડમાં કુલ n*(n +1 )(2n+1)/૬ ચોરસ હોય. તો હવે સાબિત કરવાનું રહે કે n +૧ માટે પણ આ વિધાન સાચું છે.
(n +૧)x (n +૧) ચોરસ ધરાવતાં બોર્ડમાં કુલ ચોરસની સંખ્યા nxn માપના ચોરસમાં રહેલાં ચોરસની સંખ્યામાં, બોર્ડમાં એક હાંર અને એક કોલમ ઉમેરતાં વધતાં ચોરસના ઉમેરણ જેટલા થાય. ( દા.ત. 3x3 માપના બોર્ડમાં કુલ ૧૪ ચોરસ છે જો બોર્ડમાં ૧ હાંર અને એક કોલમ ઉમેરીએ તો જે તે હાંર કે કોલમથી બનતા ચોર્સનું ઉમેરણ કરવાથી 4x4 ના માપના બોર્ડના કુલ ચોરસ મળે. જે આપણાં ઉદાહરણમાં ૪ ના વર્ગ બરાબર એટલે કે ૧૬ જેટલા વધે. મતલબ કુલ ચોરસ ૧૪+૧૬ = ૩૦ થાય.)
(n +૧)x (n +૧) ચોરસ ધરાવતાં બોર્ડમાં કુલ ચોરસની સંખ્યા = nxn માપના ચોરસમાં રહેલાં ચોરસની સંખ્યા + (n +૧)^2
= n (n +૧)(2n +૧)/૬ +(n +૧)^2
= (n +૧) [ n /6 (2n +૧) + (n +૧)]
= (n +૧) /૬ [ 2n ^૨ + ૭ન + ૬ ]
= (n +૧) (n + ૨) ( 2n + ૩ )/6
= Sigma (n +૧)^2
આમ, આપણી પૂર્વધારણા સાચી છે.
હવે ગયા અંકની End Game નો જવાબ!
ગયા અઠવાડિયાના અંકમાં અંતે પૂછેલા સવાલના પણ ઘણાં ખરા સાચા જવાબો મળ્યાં. આદીલ મક્સ્તીએ સૌ પ્રથમ સાચો જવાબ આપ્યો. મોટા ભાગના વાંચકોએ લોજીક અથવા પદ્ધતિ લખવાનું ટાળ્યું. ચેસ બોર્ડમાં કુલ કેટલાં લંબચોરસ હોય, એ ગયા અઠવાડિયાની End Game નો સવાલ હતો અને સાચો જવાબ છે ૧૨૯૬!
કેવી રીતે? આ વધુ અગત્યનો સવાલ છે. કેમ કે અહીં આપણી મથામણ લોજીક શોધવાની કે વિકસાવવાની વધુ છે. માત્ર સાચો જવાબ મેળવવાનું એટલું અગત્યનું નથી. મેથડ સાચી હોય તો જવાબ આપમેળે મળશે. અને દરેક સવાલ ઉકેલવાના ઘણા રસ્તા હોય શકે છે. અહી આપેલ રસ્તો જ માત્ર ખરો ઉકેલ છે એવું કઈ જરૂરી નથી. ચાલો ફરીથી મૂળ વાત પર આવીએ.
નીચે મુજબ અલગ અલગ માપના લંબચોરસ શોધી શકાય.
માપ લંબચોરસ
૧x૧ ૮*૮=64
૧x૨ ૮*૭=૫૬ (દરેક હારમાં સાત ૧x૨ લંબચોરસ, અને એવી ૮ હાર)
૧*૩ ૮*૬=48
......
૧*૮ ૮*૧=8
મતલબ ૧ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ = ૮*(૧+૨+૩+૪+૫+૬+૭+૮) =૮*sigma8
આ જ રીતે, ૨ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ = ૭*(૧+૨+૩+૪+૫+૬+૭+૮) =7*sigma8
3 ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ = 6*(૧+૨+૩+૪+૫+૬+૭+૮) =6*sigma8
....
કુલ સરવાળો કરતાં, ૮*Sigma8 + ૭*Sigma8 + ...+૧*Sigma8
= Sigma8 *(૮+૭+૬+૫+૪+૩+૨+૧)
= Sigma8 *Sigma8
=૮*૯ /૨ * ૮*૯ /૨
= ૩૬ * ૩૬
= ૧૨૯૬
End Game
વાચક બિરાદરો, આ પ્રશ્નનો વિસ્તાર કરીએ તો કેવું ? nxn માપના બોર્ડમાં કેટલાં લંબચોરસ હોય ? એના પરથી ખુબ રસપ્રદ સંબધ બે અલગ અલગ ફોર્મ્યુલા વચ્ચે સ્થાપિત પણ કરી શકીશું. હા થોડી મગજમારી તો કરવી પડશે. તો જવાબ મોકલવા તૈયાર? www .alpeshbhalala .com પર કોમેન્ટ લખો અથવા તો alpesh.bhalala@gmail.com પર ઈ-મેઈલ કરો.
2 comments:
ans=sigma x=1 to x=n n^2 +
sigma x=1 to x=n n^2(n-1)
=sigma x=1 to x=n n^2(1+n-1)
=sigma x=1 to x=n n^2(n)
=sigma x=1 to x=n n^3.
No. of rectangles in chessboard of n*n can be given by:
∑i^3; where i=1 to n
or
simply we can say ∑n^3
From: Nisarg Maratha
Post a Comment