Tuesday, February 7, 2012

ઘાસ અને ઘેટાં



ગયા અંકનો સવાલ: 
વિષય: ગણિત 
ગહનતા : ૨.૫ /૫
 
અમારો ચનો એક ટ્રેનના પુલ પર ચાલતો જતો હતો. પુલના મધ્યબીન્દુથી માત્ર ૧૦ મીટર દુર હતો અને એણે પાછળથી ટ્રેન આવવાનો અવાજ સાંભળ્યો. એ સમયે પાછળથી આવતી ૯૦ કિમી./કલાકની ગતિએ આવતી ટ્રેન પુલની કુલ લંબાઈ જેટલી આ પુલથી દુર હતી. ચનો ઝપાટાભેર પાછો વળી છેડા તરફ એટલે કે ટ્રેન તરફ દોડ્યો. પુલ ઓળંગ્યાના ચાર મીટર પછી ટ્રેન આવી અને ચનો બચી ગયો. જો ચનો અવાજ સાંભળીને પાછો ના વળ્યો હોત અને એટલી જ ગતિથી આગળ ચાલ્યો હોત તો ટ્રેન સાથે પુલના છેડાથી દુર (પુલ પર) ૮ મીટર અંતરે અથડાયો હોત. તો સુજ્ઞ વાંચક મિત્રો આ પુલની લંબાઈ કેટલી?


જવાબ:

પહેલાં ઉકેલ જોઈ લઈએ આ સરસ અને સરળ કોયડાનો! 

ધારો કે પુલની લંબાઈ A મીટર છે.


ચનો 0.5A-10 જગ્યા પર હતો એટલે કે પુલના મધ્યબીન્દુથી ૧૦ મીટર દુર હતો. હવે ચનો ટ્રેઈન તરફ દોડ્યો અને પુલ ઓળંગ્યાના ચાર મીટર પછી ટ્રેન આવી. મતલબ ચનાએ કાપેલું અંતર (૦.5A -10 +4 )= ૦.5A -6 મીટર થયું.  ટ્રેઈન પુલના છેડાથી A  મીટર દુર હતી. માટે ટ્રેઈને આ સમય દરમિયાન કાપેલું અંતર A -4  મીટર થશે. ટ્રેઈનની વિરુદ્ધ દિશામાં દોડતાં ચનો ૦.5A+2 જેટલું અંતર કાપે છે એટલા સમયમાં ટ્રેઈન 2A - 8 મીટર અંતર કાપે છે.

અહી બંનેની સ્પીડ અચલ છે માટે ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતાં,
(0.5A-6) / (A-4) = (0.5A+2) / (2A-8)  

=>A^2  -16A + 48 = .5A^2-8
=>0.5A^2 -16A+56 = 0
=>A^2 - 32A + 112 = 0
=>(A-28)(A-4)=0
=> A = 28 મીટર  અથવા  A=4 મીટર


પણ, પુલની કુલ લંબાઈ ૪ મીટર હોય તો ચનો પુલના મધ્યબીન્દુથી  દસ મીટર દુર હોય જ ના શકે માટે પુલની લંબાઈ ૨૮ મીટર છે.


હવે સાચો (અને વિગતવાર) જવાબ મોકલનાર સૌ વાંચકો આ મુજબ છે,

ડો. જયેશ પટેલ, અમદાવાદ 
કુંપરા ભાવેશ 
નિર્મળ પટેલ, ગોધરા 
ડો. બંકિમ એમ થાનકી, રાજકોટ
ફાલ્ગુની દોશી 
ડો. ડી એમ કગથરા, મોરબી
વિરલ પટેલ 
શાહ અદિતિ, એન આર હાઇસ્કુલ, અમદાવાદ


End Game


વિષય: ગણિત 
ગહનતા : ૨.૫ /૫ 
 
ચનો પશુપાલન કરે અને ગુજરાન ચલાવે. એણે પાળેલા ઘેટાઓની  સંખ્યા વધતી ચાલી. (હોંશિયાર તો હતો જ ! ટ્રેઇનના પુલ પર ચાલતો અને એની દિમાગ શક્તિથી ગયા વખતે જ બચી ગયેલો !) એક દિવસ એણે ઘેટાઓને જરૂરી ઘાસ અને એના એક ખેતરમાં થતા ઘાસની ગણતરી માંડી. ખેતરમાં ઘાસ વધવાની ગતિ અચળ છે. એટલે કે એકસરખા રેટથી ઘાસ વધ્યે જ જાય છે. જો ચનો ૧૦ ઘેટા આ ખેતરમાં મુકે તો ૨૦ દિવસમાં ઘાસ ખૂટી પડે છે.  ૧૫ ધેટા મુકે તો ઘાસ ૧૦ દિવસમાં ખલાસ થઇ જાય છે. ચનો ૨૫ ઘેટા મુકવાનું વિચારે છે. તો હે સુજ્ઞ વાંચકો, આ ઘેટાઓ કેટલા દિવસમાં ખેતર ખાલી કરી મુકશે? ઘેટા મુકે એ સમયે ખેતરમાં ઘાસ હોય તો જ ચનો ઘેટા મોકલે, નહિ તો ઘેટા શું ઢેફા ખાય?! ઘેટાની ઘાસ ખાવાની સ્પીડ પણ અચળ છે.



જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpesh.bhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો. લખ્યા તારીખ : ૧૬/૧૨/૧૧ 

4 comments:

DJ said...

ધારો કે અત્યારે ખેતર માં A જેટલું ઘાસ છે અને ઘાસ ના વધવાનો દર g છે.
પ્રત્યેક ઘેટું s ઝડપથી ઘાસ ચરે છે.


20 દિવસ, 10 ઘેટા માટે :
A + 20g – 20(10s) = 0

10 દિવસ, 15 ઘેટા માટે :
A + 10g – 10(15s) = 0

તેથી,
s = A/100 ; g = A/20

હવે x દિવસ, 25 ઘેટા માટે :
A + x(A/20) – x(25)(A/100) = 0;
તેથી, x = 100 યુનિટ જેટલુ ઘાસ જોઇએ

- દક્ષ જોષી, રાજકોટ

Dr D M Kagathara-Morbi said...

Solution of Sheeps & Days
Answer: (Dr D M Kagathara-Morbi)
25 sheep can eat grass in 5 days.
Solution is as under:
Suppose total grass is X Kg, and it grows Y Kg in a day and each sheep can eat A Kg grass in 1 day..
So in first event in 20 days 10 sheep can eat
10xAx20=200A Kg grass--------------------(1)
and total grass in 20 days will be
X+20B------------------------------------------(2)
(1)=(2) because 10 sheep have eaten total grass in 20 days.
So X+20B=200A; X=200A-20B----------(I)
Now in second event in 10 days 15 sheep can eat
15xAx10=150A Kg grass--------------------(3)
and total grass in 10 days will be
X+10B------------------------------------------(4)
(3)=(4) because 15 sheep have eaten total grass in 10 days.
So X+10B=150A; X=150A-10B----------(II)
So (I)=(II) means 200A-20B=150A-10B; 200A-150A=20B-10B
Means 50A=10B, So B=5A
Now in third event, suppose 25 sheep can eat total grass in Y days.
According to given condition total grass in Y days will be
X+YB Kg ----------------------------------------(5)
And 25 sheep in Y days can eat 25xAxY Kg grass------(6)
(5) and (6) are same
X + YB=25xAxY=25AY; So X=25AY-YB
But B=5A; So X=25AY-5AY=20AY--------------(III)
To put X=20AY in either (I) or (II)
According to(I)
X=200A-20B
X=200A-100A (B=5A); =100A--------------------(IV)
Comparing value of X in (III) and (IV)
20AY=100A; 20Y=100
So Y=5

Anonymous said...

ANSWER TO THE QUESTION OF ‘ END GAME ’ OF ‘ STUDENTS @ COMPETITION ’ OF
“SHATDAL – GUJARAT SAMACHAR” OF 08 FEBRUARY , 2012
ANSWER : It will take 5 days for 25 sheeps to eat all the grass of the farm .
SOLUTION : Suppose ,
The initial quantity of the grass in the whole farm = M kg
The uniform increase in the quantity of the grass in the whole farm =m kg/day
The quantity of grass eaten by 1 sheep in a day = k kg
The number of sheeps in the farm = n
& The number of days taken by n sheeps to eat all the grass in the farm
(where initial quantity of the grass in the whole farm is M kg) = L

Therefore ,
M + Lm - Lnk = 0 ………………..(1)
Now , for the first situation narrated ,
We have ,
n=10 and L = 20
Therefore , from Eq. …..(1) ,
M + 20m – (20)(10)k = 0
M + 20m – 200k = 0
200k – 20m = M ………………..(2)
Now , for the second situation narrated ,
We have ,
n = 15 and L =10
Therefore , from Eq. …..(2) ,
M + 15m – (15)(10)k = 0
M +15m – 150k =0
150k – 15m = M ………………..(3)

Now , on subtracting Eq. …..(3) from Eq. …..(2) ,
We get ,
5k = m ....................(4)
Now , on multiplying Eq. …..(3) by 2 and subtracting it from Eq. …..(2)
We get ,
100k = M ………………..(5)
Now from Eq. …..(1)
We have ,
M + Lm – Lnk = 0
M + L ( m - nk) = 0
100k + L (5k - nk) = 0 [ from Eq. …..(4) & Eq. …..(5) ]
k [ 100 + L (5-n) ]= 0
100 + L (5 - n) = 0
Now ,
if the number of sheeps in the farm is equal to 25 ,
then n=25
Therefore , from the above equation ,
We have ,
100 + L (5 - 25) = 0
 L = 5
And here L is the number of days required to eat all the grass of the farm for n sheeps .
Therefore , number of days required to eat all the grass of the farm for 25 sheeps is equal to 5 .

ANSWER AND SOLUTION IS CALCULATED BY :
DVIJ CHAITANYA MANKAD
A202 DEVRAJ TOWER ,
JUDGES BUNGLOW CROSSROADS ,
BODAKDEV ,
AHMEDABAD - 380 054
CELL NO. : 97377 99918

digujust said...

ans is 5
khetar ma ugelu ghas x
ghas na vadhavani speed y
gheta na ghas khavani speed z
d = ghas puru thata lagto samay

for 1st case

gheta ni sankhya 10
ghas puru thara lagto samay 20 days

so,
x-(10d*z)+(d*y)=0 .......(s1)
x-200z+20y=0
x+20y=200z ...........(1)


for 2nd case

gheta ni sankhya 15
ghas puru thara lagto samay 10 days

so,
x-15(d*z)+dy=0 ........(s2)
x-150z+10y=0
x+10y=150z ..........(2)


now for 3rd case

gheta ni sankhya 25
ghas puru thara lagto samay d days

x-(25d*z)+(d*y)=0
x+(d*y)=25d*z ........(3)

now solving (1) & (2)
we got y = 5z ...(4)

put
now put y = 5z in (s1) & (3)
we get

(x/(5*z))=d .... for 1st case
but for 1st case d=20

so
x=100z ....( this is same for all condition because the speed growing of grass and speed of eating grass of ship is constant )

for 3rd case
(x/20*z)=d
put x=100z

..................
| ans : d=5 |
..................