Wednesday, July 6, 2011

ચોકલેટની વહેંચણી


ગયા અંકનો સવાલ:


વિષય: તર્ક ,  ગહનતા: ૪/૫ 
નીચેના દસ વાક્યોના અંતે આપેલ સવાલનો જવાબ આપો !
૧. વાક્ય નંબર ૯ અથવા ૧૦ માંથી ઓછામાં ઓછુ એક વાક્ય ખરું(સાચું) છે.
2. આ વાક્ય પહેલું ખરું અથવા પહેલું ખોટું વાક્ય છે.
3. આ દસ વાક્યોમાં કોઈ ત્રણ ક્રમિક વાક્યો ખોટા છે.
4. છેલ્લા ખરા અને પેલ્લા ખરા વિધાનો વચ્ચેનો તફાવત આ સંખ્યા (કે જે શોધવાની છે) ને નિશેષ ભાગી શકે છે.
5. બધા ખરા વિધાનોના ક્રમાંકનો સરવાળો તમારે શોધવાનો છે.
6. આ વિધાન છેલ્લું ખરું વિધાન નથી.
7. દરેક ખરા વિધાનનો ક્રમ આ સંખ્યાને (કે જે શોધવાની છે) નિશેષ ભાગી શકે છે.
8. જે સંખ્યા શોધવાની છે એ સાચા વિધાનોની ટકાવારી બરાબર છે.
9. જે સંખ્યા શોધવાની છે એના અવયવોની સંખ્યા ( ૧ અને એ સંખ્યા પોતાને બાદ કરતા બાકીના અવયવોની સંખ્યા ) , બધા સાચા વિધાનોના ક્રમાંકોના સરવાળા કરતા મોટી સંખ્યા છે.
10. અહી કોઈ ત્રણ ક્રમિક વિધાનો સાચા નથી.


આવી સૌથી નાની સંખ્યા કઈ?

જવાબ:
આ સરસ મજાના તર્કના પ્રશ્નનો એક પણ સાચો જવાબ મળ્યો નહિ ! પણ જેઓને આવી પઝલ ઉકેલવામાં રસ પડતો હોય એમને આ પઝલ ઉકેલવામાં ચોક્કસ મજા પડશે ભલે થોડો સમય લાગે પણ અંતે જગ જીત્યાની લાગણી થશે ! 
બધા વિધાનો એક પછી એક ચકાસતા,  છઠ્ઠું વિધાન જો ખોટું હોય તો વિરોધાભાસ સર્જાય છે. માટે આ વિધાન સાચું જ હોવું જોઈએ.
 હવે પ્રથમ બે વિધાનો જોતા, 
જો બીજું વિધાન સાચું હોય તો તે પ્રથમ સાચું વિધાન હોવું જોઈએ માટે પહેલું વિધાન ખોટું જ હોવું જોઈએ.
હવે જો બીજું વિધાન ખોટું હોય તો એ વિધાન ખોટું પુરવાર  કરવા માટે પ્રથમ વિધાન પણ ખોટું હોવું ઘટે. 
આમ બંને શક્યતાઓ તપાસતા, પ્રથમ વિધાન ખોટું છે એમ સાબિત થાય છે.
 હવે જો પહેલું વિધાન ખોટું હોય તો, 
વિધાન ૯ અને 10 માંથી એક પણ વિધાન સાચું નથી. માટે એ બંને વિધાનો ખોટા હોવા જોઈએ.
હવે ધારો કે  ત્રીજું વિધાન ખોટું છે. માટે ત્રણ ક્રમિક ખોટા વિધાનો એક પણ નથી. તો વિધાન સાત અને વિધાન બે સાચા હોવા ઘટે. અને વિધાન ૪,૫ અને ૭ માંથી બે વિધાનો સાચા હોવા જોઈએ કેમ કે ત્રણ ક્રમિક સાચા વિધાનો આવેલા છે. 

વિધાન ૮ મુજબ, જે અંક શોધવાનો છે  એ સાચા વિધાનોની ટકાવારી jetlo   છે . માટે આ અંક ૫૦ કે ૬૦ hovo જોઈએ.
જો વિધાન ૭ સાચું હોય તો, દરેક સાચા વિધાનનો  ક્રમ આ સંખ્યાને ની:શેષ  ભાગી શકે. પણ ૭ અને ૮, ૫૦  કે ૬૦  બેમાંથી એક પણ ને  ની:શેષ ભાગી  શકતા નથી. માટે વિધાન ૭ ખોટું છે.  માટે વિધાન ૪ અને ૫ સાચા છે. 
પણ વિધાન ૫ અને ૮ વિરોધાભાસ ઉભો  કરે  છે. માટે આપની  ધારણા  કે વિધાન 3 ખોટું છે એ ખોટી  છે. માટે ત્રણ ક્રમિક ખોટા વિધાનો આવેલા છે. માટે વિધાન ૮ ખોટું હોવું જોઈએ.

હવે વિધાન ૭ સાચું છે કેમ કે વિધાન ૬ છેલ્લું સાચું વિધાન નથી.  માટે દરેક સાચા વિધાનનો ક્રમ, જે અંક શોધવાનો છે એનો એક અવયવ છે.દરેક સાચા વિધાનોના ક્રમો વડે આ સંખ્યા વિષે  જાણતા, આ સંખ્યા ૪૨ કે એનાથી મોટી હોવી જોઈએ. પણ વિધાન ૫ મુજબ આ સંખ્યા દરેક સાચા વિધાનોના સરવાળા બરાબર છે જે વિરોધાભાસ ઉભો કરે છે કેમ કે દરેક શક્યતાઓ ધ્યાનમાં લઈએ તો પણ આ સંખ્યા ૪૨થી  નાની હોવાનું દર્શાવે છે. આમ વિધાન ૫ ખોટું છે.

પણ ત્રણ ક્રમિક વિધાનો સાચા હોવાથી વિધાન ૨ અને ૪ સાચા છે.  માટે વિધાનો ૨,3,૪,૬ અને ૭ સાચા છે. માટે આ દરેક સંખ્યા આપને જે સંખ્યા શોધવાની છે એના અવયવો છે. અને વિધાન ૪ મુજબ ૫ પણ એનો એક અવયવ છે. આવી સૌથી નાની સંખ્યા છે ૪૨૦. વિધાન ૯ મુજબ એના અવયવોની સંખ્યા સાચા વિધાનોના ક્ર્માંન્કોના સરવાળા કરતા મોટી નથી, જે તપાસતા, કુલ અવયવો ૨૪ માંથી સંખ્યા પોતે અને ૧ બાદ કરતા વધે ૨૨ અવયવો. અને સાચા વિધાનોના ક્ર્માંન્કોનો સરવાળો પણ ૨૨ છે જે વિધાન ૯ (કે જે ખોટું છે)ને સમર્થન આપે છે.
આમ આવી સૌથી નાની સંખ્યા છે ૪૨૦!!

End Game

વિષય:ગણિત , ગહનતા: ૨.૫ / ૫ 


દર્શ અને અર્શ બંને ભાઈઓએ ચોકલેટના બે ભાગ પાડ્યા. દર્શના ભાગે અર્શ કરતા ત્રણ ઘણી ચોકલેટ આવી હતી. અર્શને સંતોષ ના થયો એટલે નવો ઉકેલ શોધવા બેઠા. દર્શે અર્શની ઉંમર જેટલી ચોકલેટ તેને  આપવાની હા ભણી. આમ કર્યા પછી પણ દર્શ પાસે અર્શ કરતા બમણી ચોકલેટ રહી. એટલે ફરી અર્શે વધુ  ચોકલેટ માંગી. પણ દર્શના મતે તે અર્શ કરતા ઉંમરમાં પણ બમણો છે માટે તેને બમણી ચોકલેટ મળવી  જોઈએ. અંતે પપ્પા વચ્ચે દરમિયાનગીરી  કરતા, દર્શે તેની ઉંમર જેટલી ચોકલેટ અર્શને આપવી પડી. 

હવે કોની  પાસે વધુ ચોકલેટ હશે   ?!
 
જવાબ ક્યાં મોકલશો?


તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpesh.bhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.

4 comments:

Dipal Koladia said...

ધારો કે અર્શ પાસે x ચોકલેટ છે.
.·.કુલ ચોકલેટ =4x
હવે ધારો કે અર્શ ની ઉમર =y
.·. હવે અર્શ પાસે ચોકલેટ =x+y
.·.x+y+2(x+y)=4x
.·.3y=x
ધારો કે દર્શ ની ઉમર=z
.·.z=2y

.·.હવે અર્શ પાસે ચોકલેટ=x+y+z=x+3y=2x

.·. અંતે બંને પાસે સરખી ચોકલેટ હસે

Anonymous said...

both would have the same number of chocolates
lets begin with first sentence
suppose arsh has x chocolates
then darsh would have 3x
after that
suppose the age of arsh is y years
so
darsh has double cho. after giving y from 3x(adding y to x).......
3x-y=2(x+y)
so x=3y.......................................(1)
the age of darsh is 2y according to sentence given..........
so darsh has 3x-y-2y=3x-3y chocolates
and arsh has x+y+2y=x+3y chocolates
putting x=3y
darsh has 9y-3y=6y and arsh has 3y+3y=6y
so both have same number of cho. at the end...........

example..............
we can proove it using 144 chocolates and age of arsh 12 years

darshan b thakkar
nadiad

Dr Kagathara, Morbi said...

Darsh ni umar 2 years, Arsh ni umar 1 year. Initially Darsh has 9 and Arsh has 3 chochalates. First Darsh has given 1 chochlet to Arsh. Now both Darsh has 8 (9-1) and Arsh has 4 (3+1) chochalets. Finaly Darsh has given 2 chochalets to Arsh, and finaly both has equall chochalets (8-2; 4+2).

Ayush5791 said...

both have equal chocolates at the end!!!
suppose arsh has x chocolates
therefore darsh has 3x chocolates
suppose arsh is y years old so darsh is 2y years old.

now according to data;
3x-y=2(x+y) [because after darsh gives y chocolates to arsh he still has double chocolates than arsh)

on solving above this is possible only when x=3y

so take y =age of arsh=10years

and therefore no. of chocolates in the beginning=x=30

and now solve the question...
with age of darsh=2y=20
initially chocolates with darsh=3x=90