Tuesday, November 9, 2010

ટાપુ, નાળીયેર અને પાંચ માણસો

ગયા અંકનો સવાલ: 

પાંચ માણસો પ્લેન તૂટતાં એક નિર્જન ટાપુ પર ફસાયા.  પહેલાં દિવસે ટાપુ પરથી તેઓએ નાળીયેર ભેગા કર્યા. સાંજે અંધારું થઇ જતા નક્કી કર્યું કે હવે કાલે ભાગ પાડીશું.  રાત્રે  સાવચેતીના ભાગ રૂપે દર-એકે જાગવાના વારા રાખ્યા. પહેલો માણસ થોડી વાર પછી ચોકી કરીને કંટાળ્યો. નવરાશના સમયનો ઉપયોગ કરવા એણે નાળીયેરના પાંચ ભાગ કર્યા, એક નાળીયેર વધ્યું, જે તેણે વાંદરાને આપી દીધું. પોતાનો ભાગ સંતાડી દીધો. બાકીના ચાર ભાગનો એક ઢગ બનાવી દીધો.  લાંબી વાર્તા ટૂંકમાં, દરેક માણસે આવું કર્યું. સવારે બધાએ સરખા ભાગ પડી લીધા, વાંદરાને આપવાની જરૂર ના પડી. આવી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ અથવા તે લોકોએ કેટલાં નાળીયેર ભેગા કર્યા હશે ? બીજો પ્રશ્ન, દરેકના ભાગે કેટલાં નાળીયેર આવ્યા હશે?

જવાબ:
૩૧૨૧


આ કોયડો ત્રણ મિત્રોના કોયડા જેવો જ છે, અહીં મિત્રોની સંખ્યા પાંચ છે. એટલે ગયા અંકમાં જે ઉકેલ આપેલ એ જ રીત અહીં પણ લાગુ પડી શકાય. પણ ગણિતની ગમ્મત માટે અલગ રીતથી આ કોયડાનો ઉકેલ જોઈએ. ( જે ગયા અંકના કોયડામાં પણ લાગુ પડી શકાય.)
ધારો કે શરૂઆતમાં n   નાળીયેર  હતાં, માટે n ને  5a +1 ના સ્વરૂપે લખી શકાય જ્યાં a જેટલાં  નાળીયેર પહેલા માણસે રાખ્યા હશે. એ જ રીતે ધારો કે બીજા  માણસે b જેટલાં નાળીયેર રાખ્યા હોય, ત્રીજા માણસે c , ચોથા માણસે d  અને છેલ્લા માણસે e જેટલાં નાળીયેર રાખ્યા હોય. જ્યાં n અને a ,b ,c ,d ,e   ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.
 માટે,
n = 5a + 1 => n + 4 = 5(a + 1) ...........................................................I
4a = 5b + 1 =>   4(a + 1) = 5(b + 1) => (a + 1) = 5 /4(b + 1)..............II
4b = 5c + 1 =>  4(b + 1) = 5(c + 1) => (b + 1) = 5 /4(c + 1)...............III
4c = 5d + 1 =>  4(c + 1) = 5(d + 1) => (c + 1) = 5 /4(d + 1)...............IV
4d = 5e + 1 =>  4(d + 1) = 5(e + 1) =>(d + 1) = 5 /4(e + 1).................V

હવે સમીકરણ V ની કિમંત IV માં , IV ની કિમંત III માં, III ની કિમંત II માં અને II ની કિમંત I મૂકતા,
n + 4 = 5 × (5/4)4 (e + 1) મળે. માટે,  n = (55/44) (e + 1) − 4  = 3125 / 256  (e + 1) − 4
અહી n ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,  (e +1 )  એ 256 થી વિભાજ્ય હોય. (કેમ કે 3125 /256 એ અપૂર્ણાંક છે.)

માટે સામાન્ય સમીકરણ આવું મળે, n = 3125r − 4, જ્યાં r એ ધન પૂર્ણાંક છે.
રની સૌથી નાની કિમંત 1 લેતાં , n = 3121 મળે.

આ કિમંત ઉપરના સમીકરણોમાં મૂકતા,
સૌથી પહેલા ઉઠેલા માણસને ૮૨૮, બીજા માણસને ૭૦૩, ત્રીજા ઉઠેલા માણસને ૬૦૩, ચોથા માણસને ૫૨૩ અંદ છેલ્લા માણસને ૪૨૯ નાળીયેર મળ્યા હશે.








 

જવાબ આપનાર વાંચકો:
સંપૂર્ણ સાચો  જવાબ માત્ર વૈભવ શાહે (ભરૂચ) આપ્યો. 
સરસ પ્રયત્ન કરનાર વાંચકો:
કેવલ શાહ
કમલનયન  કિનારીવાલા
ડો. સમીર દાણી, અમદાવાદ 
ભૈરવ ભંડારી, વલસાડ 
સુહાન પટેલ
હિમાંશુ જોગી, સિહોર
ગુંજન શેઠ
રોનક ઠક્કર, પાલનપુર

સાચો જવાબ મોકલનાર સૌ વાંચકોના નામ www .alpeshbhalala .com  પર મુકેલાં છે.

End Game

આ ખુબ જાણીતી પઝલ છે પણ મજ્જાની છે. જેમ જેમ 'ચલાવતા' જશો એમ એમ ચાવી મળતી જશે!
એક વસ્તીગણતરીકાર એક ઘેર જાય છે જ્યાં એક માણસ એની ત્રણ દીકરીઓ સાથે રહેતો હતો.
વસ્તીગણતરીકાર : "તમારી દીકરીઓની ઉંમર કેટલી છે?" ( કોઈ છોકરીની ઉંમર એના પપ્પાને તો પુછાય ને !!)
માણસ: "એમની ઉંમેરોનો ગુણાકાર ૭૨ છે, અને સરવાળો મારા ઘર નંબર જેટલો છે."
વસ્તીગણતરીકાર :"પણ એ પુરતી માહિતી નથી."
માણસ: "સારું, સૌથી મોટી દીકરીને ચોકલેટ બહુ ભાવે છે."
કહો જોઈએ વાંચકો, આ ભાઈની દીકરીઓની ઉંમર !!

જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com  પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.

સૌ સાચા જવાબ મોકલનાર વાંચકો:

લલિત વાઢેર
અંકિતા ચૌહાણ
દિપાલી શાહ
રાકેશ શુદ્ર
કૌશિક પટેલ
સાગર પટેલ

14 comments:

Anonymous said...

what is house number of that man??

sanket said...

age of that girls are in sequence 2,4,9

sanket said...

the age of that girls are in sequence 2,4,9

Anonymous said...

the age of that girls are in sequence 2,4,9 year

patel said...

The ages of girls are 6, 4 and 3.


DHAVAL PATEL
RAJKOT

mehul sakhiya said...

there r two answers of this question & its depends on his home no. ans.1 a=3,b=4,c=6 or a=9,b=4,c=2 because a*b*c=72 & a+b+c=n where n=his home no. In ans.1 (a+b+c)* (a+b+c)= n*n & also same process in ans no.2 that's all.

mehul sakhiya(surat) said...

a=3,b=4,c=2 or a=9,b=4,c=2

Smeet said...

Their Age Of 1st as 9 year
2nd as 4 year
3rd as 2 year
And house No is May be 15

Mukesh Shah

Dhanik said...

there are 3 hints;
1.that the sum of the age of that girls is home no.,so we can say that the sum of the age should be an integer,so the age of all the girls should be an integer.
2.that the eldest girl likes chocolate very much,so we can say that the eldest girl's age should be about 6 to 9 years.
3.and also a*b*c=72,where 'a'is the age of the eldest girl.
and now we can easily say that the age of the girls must be 3,4,6 or 2,4,9 its depends on the home no.
From :- Rushabh shah
Kadi.

Dipali said...

Dear Alpesh bhai
the age of the daughter will be from
1 2 3 4 6 8 and 9

because the eldest girl is eating chocolate so her age will be less than 12.

available ages of girls are
1st 2nd 3rd sum
3 4 6 13
2 4 9 15
1 8 9 18

now normally age difference between two girl must be between 1 and 5 years .
so only possible ages are 2 4 and 9 and house no is 15

Dipali Shah (Kapadvanj)

Alpesh Bhalala said...

I got many correct answers, but I am yet waiting for the first logically correct and the only answer!

Anonymous said...

their age should be 3,4,6 respectively,
beacuse only eldest girl like chokolate.

and home number =13


kunjan, surat

Lalit Vadher said...

the general equation of the answer is given as 3125r-4....

which is actually wrong...
when u put r=1..it works...
but when u put r=2....
it gives e=511 which is not divisible by 5.....an error...you may have forgotten that 4e should be divisible by 5...which implies that e should be divisible by 5....
the right derivation of the general solution is given below
n=5a+1 => n+4=5(a+1).......................(A)
4a=5b+1 => 4(a+1)=5(b+1) => a+1=5/4(b+1).......(B)
4b=5c+1 => 4(b+1)=5(c+1) => b+1=5/4(c+1).......(C)
4c=5d+1 => 4(c+1)=5(d+1) => c+1=5/4(d+1).......(D)
4d=5e+1 => 4(d+1)=5(e+1) => d+1=5/4(e+1).......(E)
4e=5m =>e=5m/4.........................................................(Z)
putting values of equation (Z) into (E),(E) into (D),(D) into (C), (C) into (B) and (B) into (A), we get,
n+4=5*(5/4)*(5/4)*(5/4)*(5/4)*(5m/4+1).................(F)
from (F)
we get n=(3125/1024)*(5m+4)-4.......(G)
Equation (G) is the equation that shud be used to get the answer....
here 5m+4 shud be a multiple of 1024 for n to be an integer....
therefore 5m+4=1024k ....(L) where m and k shud be integer...
checking for k=1.in (L)...m=204......putting this m=204 in equation (G)...we get...
n=3121.....answer but for general solution the method is given below in general if you take m=204+1024p where p is an integer.....it will give integer value of n...[from observation of equation (G) the denominator contains 1024 and therefore multiple of 1024 shud be added to 204 to get a general sol..]
taking m=204+1024p in (G),
we get
n=15625p+3121 the general..answer
where p=0,1,2,3...

Anonymous said...

only one box
or
according to given example...
no box need to open.