નવું વરસ ૨૦૧૧ બધાને ખુબ ફળે. તન, મન, અને ધનની શાંતિ આપે. આ કોઈ આશીર્વાદ નથી, આશાવાદ જરૂર છે.
ગયા વરસમાં કેટલા હુલ્લડ થયા, કેટલી હોનારત થઈ, કેટલા કૌભાંડ થયા, કેટલા હુમલા થયા, કેટલા હોમાયા વગેરેપર લખવાનું કામ છાપાવાલાઓનું છે અને એ ફરીથી બધા ફોટાઓ છાપીને તમને યાદ પણ કરાવ્યું હશે. પણ આપણે નવી આશાઓ પર અને કેટલીક ૨૦૧૧ને લગતી માહિતી પર લખીએ તો ? ( કોણ બોલ્યું, લોકો કોપી કરે..!) ફિલ્મ (આ પોસ્ટ) ફ્લોપ ભલે જાય, પણ બે વાત જાણવા તો જરૂર મળશે.
ચાલો જોઈએ કેટલીક રસપ્રદ(interesting) ઘટનાઓ જે ૨૦૧૧મા બનશે!
સૌ પ્રથમ ૨૦૧૧ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. ( કોણ બોલ્યું, એટલે ભારે રહેશે ? જરૂર કોઈક સિન્ડ્રોમની અસર ) ૨૦૦૫, ૨૦૧૧ અને ૨૦૨૨ આ ત્રણેય સૌથી નજીકના એવા વરસો છે જેના અંગ્રેજી કેલેન્ડર એકસરખા છે. ( છેલ્લાં ૯૦ વરસોમાં આ કેલેન્ડર ૧૧ વખત રીપીટ થયું છે !)
કેટલીક રસપ્રદ તારીખો ૨૦૧૧ના વરસની. ( તારીખો વિશેની જૂની પોસ્ટ્સ ૨૦૦૮/૦૮/૦૮અને વર્ગમૂળ દિવસ )
૧) માત્ર એકડાઓવાળી તારીખો. ૧/૧/૧૧, ૧/૧૧/૧૧, ૧૧/૧/૧૧, અને ૧૧/૧૧/૧૧. ( આવો છ સરખા કોઈ પણ આંકડા તારીખમાં આવવાનો સુભગ સંયોગ છેક ૧૧/૧૧/૨૧૧૧ સુધી જોવા નહિ મળે, મતલબ આપણને જોવા નહિ મળે! )
૨) અને લો આ બે પાક્કી રોન: ૯/૧૦/૧૧ - નૌ દસ ગ્યારહ- અને ૧૩/૧૨/૧૧.
3) ૨૦/૧૧/૨૦૧૧ ( ૨૦૧૧ ૨૦૧૧ )
૪) પોઈન્ટ નંબર ૧) વાળી બધી અને દર મહિનાની ૧૧/૨/૧૧, ૧૧/૩/૧૧, ૧૧/૪/૧૧ ...૧૧/૯/૧૧ : આગળ અને પાછળથી વાંચતા સરખી (palindrome) છે.
૫) ૫/૭/૧૧ - ક્રમિક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ !
૬) ૭/૯/૧૧ - ક્રમિક અયુગ્મ સંખ્યાઓ.
હવે કેટલીક ૨૦૧૧મા થનારી રસપ્રદ ઘટનાઓ. (સોર્સ: વિકિપીડિયા, આ વરસે મંદિરે ૧૦૦ રૂપિયા ના મુકતા કે ઓછા મૂકી આમને દાન આપો તો કેવું? [સાચો જવાબ: લેખે લાગે.] )
૧) ૧લી જાન્યુઆરી એ કોમ્પ્યુટરનો Y1C પ્રોબ્લેમ ચીનને કનડશે.
૨) ૯ જાન્યુઆરી દક્ષિણ સુદાનની આઝાદી માટેની મહત્વપૂર્ણ મીટીંગ.
૩) ન્યુ હોરાઈઝોન્સ પ્રોબ પાંચ વરસ બાદ માર્ચ ૧૮મીએ પ્લુટોની ભ્રમણ કક્ષા ભેદશે અને એ જ દિવસે મેસેન્જર સ્પેસક્રાફ્ટ બુધની કક્ષામાં પ્રવેશશે.
૪) બીજી અપ્રિલે ક્રિકેટ વર્લ્ડ કપની મુંબઈમાં ફાઈનલ.
૫)પાકિસ્તાન એનો પ્રથમ સ્પેસ સેટેલાઈટ એપ્રિલમાં તરતો મુકશે.
૬) મેં મહિનામાં મંગળ, બુધ, ગુરુ અને શુક્ર ગર્હો માત્ર ૬ ડીગ્રીના અંતરે આવશે.
૭) ૧૦ જુલાઈના રોજ નેપચ્યુન એની ભ્રમણકક્ષામાં ચક્ર પૂરું કરશે. ૧૮૪૬મા નેપચ્યુંનની ડીસ્કવરી પછી આ તેનું પહેલું સંપૂર્ણ ભ્રમણ છે.
૮) ઓગસ્ટ ૧૫મીના રોજ ધૂમકેતુ 45B પૃથ્વીની નજીક આવશે.
૯) ipv4 ( ઈન્ટરનેટ પ્રોટોકોલ )ના બધા એડ્રેસ આ વરસે વપરાઈ જશે.
૧૦) આ વરસ ઇન્ટરનેશનલ જંગલ અને ઇન્ટરનેશનલ કેમિસ્ટ્રી વરસ તરીકે યુનોએ જાહેર કરેલ છે.
હવે આખું વરસ આ બધા સમાચારો છાપાઓમાં કાં તો તમે ફરીથી સહન કરવાનું નહિ વિચારો અથવા વધુ રસથી આખું વરસ વાંચતા રહેશો !
Friday, December 31, 2010
Wednesday, December 29, 2010
હોટલનું બીલ
ગયા અંકનો સવાલ:
ત્રણ મિત્રોને હોટેલમાં રાતવાસો કરવાનું થયું. રીસેપ્શન પર બેઠેલા કલાર્કે ૩૦૦૦ રૂપિયા ચાર્જ કર્યો. ત્રણે મિત્રોએ ૧૦૦૦ રૂપિયા આપી બીલ ચુકવ્યું. પણ હોટલના માલિકનું ધ્યાન ગયું અને કંઈક ભૂલ થઇ હોવાનું જણાયું. ખરેખર તેમનો ચાર્જ ૨૫૦૦ રૂપિયા જ હતો. માટે તેમને કલાર્કને ૫૦૦ રૂપિયા પાછા આપ્યા. હોશિયાર કલાર્કને થયું આ ત્રણ મિત્રો ૫૦૦ રૂપિયાના ત્રણ ભાગ કેવી રીતે કરશે. આમ વિચારી તેણે મિત્રોને ૩૦૦ રૂપિયા પરત કર્યા અને ૨૦૦ રૂપિયા તેણે રાખી લીધા. આ બાજુ મિત્રો ખુશ થઇ ગયા. તેમને દરેકને ૧૦૦ રૂપિયા પરત મળ્યા. મતલબ દરેકે ૯૦૦ રૂપિયા ચૂકવ્યા. મતલબ કુલ ૨૭૦૦ રૂપિયા ચૂકવ્યા અને કલાર્કે ૨૦૦ રૂપિયા રાખ્યા. તો સરવાળો થયો ૨૯૦૦ રૂપિયા બાકીના ૧૦૦ રૂપિયા ક્યાં ગયા ??? જવાબ:
આ કોયડાના બહુ ઓછા જવાબો મળ્યા. જેટલા ઉતરો મળ્યા એમાંના લગભગ બધાએ સાચા જવાબ લખી મોકલ્યા છે. અકીબ મિર્ઝાએ સૌ પ્રથમ ખરો જવાબ આપ્યો. મનોજ જેસ્વાની બે જ વાક્યમાં લખે છે કે, 2700(ચૂકવ્યા )+300(પાછા મળ્યા )=3000( કુલ )200(કલાર્કે રાખ્યા )+300(પાછા મળ્યા )+2500(હોટલ ભાડું )=3000(કુલ )
એક ઘરડો ગોવાળ. એને ત્રણ દિકરા અને એની પાસે ૧૭ ગાયો. એક દિવસ ગોવાળ ગુજરી ગયો. હોંશિયાર ગોવાળ વસિયતનામું જરૂર કરતો ગયો. સૌથી મોટા દિકરાએ મને ખુબ મદદ કરી છે એને અડધા ઢોર આપવા. વચલા દિકરાએ પણ ઘણી વાછ્ડીઓને મોટી કરી છે માટે એને ત્રીજા ભાગના ઢોર આપવા. સૌથી નાનો દિકરો મદદ કરવામાં નબળો હતો ઉપરથી ગુટખા-બીડીના પૈસા દર બીજા દિવસે લઇ જતો એટલે એને નવમો ભાગ આપવો. ત્રણેય દિકરાઓએ બેસીને ભાગ પાડવા રાત-દી એક કર્યા પણ મેલ પડ્યો નહિ. ગાયને મારીને ભાગ પડે એટલાં અણસમજુ પણ નહોતા. પડોશમાં રહેતા પટેલ ભાઈને બોલાવી એની સલાહ લીધી. પટેલ ભાઈ કે હમણા આવું. થોડીવારમાં પટેલ ભાઈ આવ્યા અને એક પણ ગાય માર્યા વગર વસિયત પ્રમાણે ત્રણેય ભાઈઓને એનો ભાગ આપી દીધો. કહો જોઈએ પટેલ ભાઈની કારીગરી??!! જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.
ત્રણ મિત્રોને હોટેલમાં રાતવાસો કરવાનું થયું. રીસેપ્શન પર બેઠેલા કલાર્કે ૩૦૦૦ રૂપિયા ચાર્જ કર્યો. ત્રણે મિત્રોએ ૧૦૦૦ રૂપિયા આપી બીલ ચુકવ્યું. પણ હોટલના માલિકનું ધ્યાન ગયું અને કંઈક ભૂલ થઇ હોવાનું જણાયું. ખરેખર તેમનો ચાર્જ ૨૫૦૦ રૂપિયા જ હતો. માટે તેમને કલાર્કને ૫૦૦ રૂપિયા પાછા આપ્યા. હોશિયાર કલાર્કને થયું આ ત્રણ મિત્રો ૫૦૦ રૂપિયાના ત્રણ ભાગ કેવી રીતે કરશે. આમ વિચારી તેણે મિત્રોને ૩૦૦ રૂપિયા પરત કર્યા અને ૨૦૦ રૂપિયા તેણે રાખી લીધા. આ બાજુ મિત્રો ખુશ થઇ ગયા. તેમને દરેકને ૧૦૦ રૂપિયા પરત મળ્યા. મતલબ દરેકે ૯૦૦ રૂપિયા ચૂકવ્યા. મતલબ કુલ ૨૭૦૦ રૂપિયા ચૂકવ્યા અને કલાર્કે ૨૦૦ રૂપિયા રાખ્યા. તો સરવાળો થયો ૨૯૦૦ રૂપિયા બાકીના ૧૦૦ રૂપિયા ક્યાં ગયા ??? જવાબ:
આ કોયડાના બહુ ઓછા જવાબો મળ્યા. જેટલા ઉતરો મળ્યા એમાંના લગભગ બધાએ સાચા જવાબ લખી મોકલ્યા છે. અકીબ મિર્ઝાએ સૌ પ્રથમ ખરો જવાબ આપ્યો. મનોજ જેસ્વાની બે જ વાક્યમાં લખે છે કે, 2700(ચૂકવ્યા )+300(પાછા મળ્યા )=3000( કુલ )200(કલાર્કે રાખ્યા )+300(પાછા મળ્યા )+2500(હોટલ ભાડું )=3000(કુલ )
બેમાંથી એક રીતે ગણતરી કરો, મિક્સ ના કરો.
સાચી વાત છે. ખરેખર આ કોયડો લોકોને ખોટા રસ્તે વિચારતા કરે છે, પણ જો એમાં ફસાઈએ નહિ ( ખોટી ત્રણ - ચાર ઘણા કરવાની સ્કીમોની જેમ !) અને સીધું વિચારતા રહીએ તો ખરેખર તો આ પઝલ છે જ નહિ ! પણ ક્યારેક ગોથા ખાવાની પણ મજા હોય છે.
તો વળી અમદાવાદથી મુકેશ પડસાળા આ કોયડાને આગળ વિસ્તારવાનો સુઝાવ મુકે છે, જો કલાર્ક ૨૦૦ના બદલે ૨૬૦ રૂપિયા રાખે તો ખોટી રીતે પણ જવાબ ૩૦૦૦ જ આવે ! અને જો કલાર્ક ૨૦૦ના બદલે તેથી વધુ રકમ દા.ત. ૨૯૦ રાખે તો ઉપરોક્લ ગણતરીથી સરવાળો ૩૦૮૦ મળે જે મુદ્દલથી પણ વધી જાય. આમ તેમને ત્રણ જુદા જુદા પરિણામો વિસ્તારથી જણાવ્યા છે. જો રસ લઈએ તો બધું રસપ્રદ બની શકે છે !
End Gameએક ઘરડો ગોવાળ. એને ત્રણ દિકરા અને એની પાસે ૧૭ ગાયો. એક દિવસ ગોવાળ ગુજરી ગયો. હોંશિયાર ગોવાળ વસિયતનામું જરૂર કરતો ગયો. સૌથી મોટા દિકરાએ મને ખુબ મદદ કરી છે એને અડધા ઢોર આપવા. વચલા દિકરાએ પણ ઘણી વાછ્ડીઓને મોટી કરી છે માટે એને ત્રીજા ભાગના ઢોર આપવા. સૌથી નાનો દિકરો મદદ કરવામાં નબળો હતો ઉપરથી ગુટખા-બીડીના પૈસા દર બીજા દિવસે લઇ જતો એટલે એને નવમો ભાગ આપવો. ત્રણેય દિકરાઓએ બેસીને ભાગ પાડવા રાત-દી એક કર્યા પણ મેલ પડ્યો નહિ. ગાયને મારીને ભાગ પડે એટલાં અણસમજુ પણ નહોતા. પડોશમાં રહેતા પટેલ ભાઈને બોલાવી એની સલાહ લીધી. પટેલ ભાઈ કે હમણા આવું. થોડીવારમાં પટેલ ભાઈ આવ્યા અને એક પણ ગાય માર્યા વગર વસિયત પ્રમાણે ત્રણેય ભાઈઓને એનો ભાગ આપી દીધો. કહો જોઈએ પટેલ ભાઈની કારીગરી??!! જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.
Wednesday, December 8, 2010
ત્રણ બોક્સના ખોટા લેબલ
ત્રણ નાના બોક્સ છે. દરેક બોક્સમાં બે લખોટીઓ છે. કુલ છ લખોટીમાં ત્રણ કાળી અને ત્રણ સફેદ લખોટીઓ છે. દરેક બોક્સ પર એક લેબલ લગાડેલ છે. દરેક લેબલ પર સફેદ-સફેદ, સફેદ-કાળો, અથવા કાળો-કાળો લખેલ છે. પણ દરેક લેબલ ખોટું છે. ૧) ઓછામાં ઓછા બોક્સ ખોલીને સાચા લેબલ બનાવવાના છે. કેટલા બોક્સ ખોલશો તમે ?૨) ઓછામાં ઓછી લખોટી જોઇને બધા લેબલ સાચા બનાવવાના છે. કેટલી લખોટી જોશો ક્યાં બોક્સમાંથી ? જવાબ:
આ કોયડાના ઢગલાબંધ જવાબો મળ્યા. મોટાભાગના ઉતરો સાચા છે. બીજા સવાલનો જવાબ આપીશું તો તેમાં પહેલા સવાલનો જવાબ પણ આવી જશે. ફક્ત એક જ લખોટી જોઇને બધા લેબલ સુધારી શકાય. સફેદ-કાળો લખેલ બોક્સમાંથી એક લખોટી કાઢીને જોતા, જો એ લખોટી કાળી હોય તો એ બોક્સમાં રહેલી બીજી લખોટી પણ કાળી જ હોવી જોઈએ. (જો બીજી લખોટી સફેદ હોય તો લેબલ સાચું થઇ જશે.) માટે એ બોક્સનું સાચું લેબલ કાળો-કાળો હોવું જોઈએ. કાળો-કાળો લખેલ બોક્સનું સાચું લેબલ સફેદ-સફેદ હોવું જોઈએ, નહિ તો ત્રીજા બોક્સનું લેબલ સફેદ-સફેદ અને લખોટીઓ મેચ થશે. જે આપેલ માહિતીથી વિપરીત છે. માટે કાળો-કાળો લખેલ બોક્સનું સાચું લેબલ સફેદ-સફેદ અને બાકી રહેલ સફેદ-સફેદ લખેલ બોક્સમાં સફેદ-કાળો લબલ હોવું જોઈએ. જો કાઢેલી લખોટી સફેદ હોય તો બીજી લખોટી પણ સફેદ જ હોવી જોઈએ. (જો બીજી લખોટી કાળી હોય તો લેબલ સાચું થઇ જશે.) માટે એ બોક્સનું સાચું લેબલ સફેદ-સફેદ હોવું જોઈએ. સફેદ-સફેદ લખેલ બોક્સનું સાચું લેબલ કાળો-કાળો હોવું જોઈએ, નહિ તો ત્રીજા બોક્સનું લેબલ કાળો-કાળો અને તેમાં રહેલ લખોટીઓ મેચ થશે. જે આપેલ માહિતીથી વિપરીત છે. માટે સફેદ-સફેદ લખેલ બોક્સનું સાચું લેબલ કાળો-કાળો અને બાકી રહેલ કાળો-કાળો લખેલ બોક્સમાં સફેદ-કાળો લબલ હોવું જોઈએ.
જવાબ આપનાર વાંચકો:
લગભગ 4૦૦ જેટલાં ગુજરાત સમાચારના બુદ્ધિશાળી વાંચકો ! End Game
ત્રણ મિત્રોને હોટેલમાં રાતવાસો કરવાનું થયું. રીસેપ્શન પર બેઠેલા કલાર્કે ૩૦૦૦ રૂપિયા ચાર્જ કર્યો. ત્રણે મિત્રોએ ૧૦૦૦ રૂપિયા આપી બીલ ચુકવ્યું. પણ હોટલના માલિકનું ધ્યાન ગયું અને કંઈક ભૂલ થઇ હોવાનું જણાયું. ખરેખર તેમનો ચાર્જ ૨૫૦૦ રૂપિયા જ હતો. માટે તેમને કલાર્કને ૫૦૦ રૂપિયા પાછા આપ્યા. હોશિયાર કલાર્કને થયું આ ત્રણ મિત્રો ૫૦૦ રૂપિયાના ત્રણ ભાગ કેવી રીતે કરશે. આમ વિચારી તેણે મિત્રોને ૩૦૦ રૂપિયા પરત કાર્ય અને ૨૦૦ રૂપિયા તેણે રાખી લીધા. આ બાજુ મિત્રો ખુશ થઇ ગયા. તેમને દરેકને ૧૦૦ રૂપિયા પરત મળ્યા. મતલબ દરેકે ૯૦૦ રૂપિયા ચૂકવ્યા. મતલબ કુલ ૨૭૦૦ રૂપિયા ચૂકવ્યા અને કલાર્કે ૨૦૦ રૂપિયા રાખ્યા. તો સરવાળો થયો ૨૯૦૦ રૂપિયા બાકીના ૧૦૦ રૂપિયા ક્યાં ગયા ??? જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.
Wednesday, December 1, 2010
ત્રણ બોક્સના ખોટા લેબલ
ગયા અંકનો સવાલ:
ત્રણ નાના બોક્સ છે. દરેક બોક્સમાં બે લખોટીઓ છે. કુલ છ લખોટીમાં ત્રણ કાળી અને ત્રણ સફેદ લખોટીઓ છે. દરેક બોક્સ પર એક લેબલ લગાડેલ છે. દરેક લેબલ પર સફેદ-સફેદ, સફેદ-કાળો, અથવા કાળો-કાળો લખેલ છે. પણ દરેક લેબલ ખોટું છે. દા.ત. કાળો-કાળો લખેલ લેબલવાળા બોક્સમાં એક પણ કાળી લખોટી નથી. ઓછામાં ઓછા બોક્સ ખોલીને સાચા લેબલ બનાવવાના છે. કેટલા બોક્સ ખોલશો તમે ? જવાબ:
આ કોયડાના ઢગલાબંધ જવાબો મળ્યા. મોટાભાગના ઉતરો સાચા છે. આ વખતે આ કોયડાને ફરીથી પુછેલ છે, જરીક ફેરવીને, જરાક અઘરો કરીને. માટે વિસ્તૃત જવાબ આવતા અંકે લખીશું. પણ ફરીથી વાંચકોના પ્રયત્નો સરાહનીય છે. માત્ર જવાબ ન લખતા થોડાક સ્ટેપ તમને જવાબ કેવી રીતે મળ્યો એ પણ લખશો તો આ કોલમનો હેતુ વધુ સારી રીતે સાર્થક થશે.
જવાબ આપનાર વાંચકો:
લગભગ 4૦૦ જેટલાં ગુજરાત સમાચારના બુદ્ધિશાળી વાંચકો ! End Game
ત્રણ નાના બોક્સ છે. દરેક બોક્સમાં બે લખોટીઓ છે. કુલ છ લખોટીમાં ત્રણ કાળી અને ત્રણ સફેદ લખોટીઓ છે. દરેક બોક્સ પર એક લેબલ લગાડેલ છે. દરેક લેબલ પર સફેદ-સફેદ, સફેદ-કાળો, અથવા કાળો-કાળો લખેલ છે. પણ દરેક લેબલ ખોટું છે. દા.ત. કાળો-કાળો લખેલ લેબલવાળા બોક્સમાં એક પણ કાળી લખોટી નથી. આંખે પાટા બાંધી તમે કહેશો એ બોક્સમાંથી એક એક લખોટી કાઢી શકો છો. ઓછામાં ઓછા લખોટી કાઢીને તમારે દરેક બોક્સના સાચા લેબલ બતાવવાના છે. કેટલી લખોટી જોઇને કહી શકશો તમે, દરેક લખોટી ક્યાં બોક્સમાંથી કાઢશો ? જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.
ત્રણ નાના બોક્સ છે. દરેક બોક્સમાં બે લખોટીઓ છે. કુલ છ લખોટીમાં ત્રણ કાળી અને ત્રણ સફેદ લખોટીઓ છે. દરેક બોક્સ પર એક લેબલ લગાડેલ છે. દરેક લેબલ પર સફેદ-સફેદ, સફેદ-કાળો, અથવા કાળો-કાળો લખેલ છે. પણ દરેક લેબલ ખોટું છે. દા.ત. કાળો-કાળો લખેલ લેબલવાળા બોક્સમાં એક પણ કાળી લખોટી નથી. ઓછામાં ઓછા બોક્સ ખોલીને સાચા લેબલ બનાવવાના છે. કેટલા બોક્સ ખોલશો તમે ? જવાબ:
આ કોયડાના ઢગલાબંધ જવાબો મળ્યા. મોટાભાગના ઉતરો સાચા છે. આ વખતે આ કોયડાને ફરીથી પુછેલ છે, જરીક ફેરવીને, જરાક અઘરો કરીને. માટે વિસ્તૃત જવાબ આવતા અંકે લખીશું. પણ ફરીથી વાંચકોના પ્રયત્નો સરાહનીય છે. માત્ર જવાબ ન લખતા થોડાક સ્ટેપ તમને જવાબ કેવી રીતે મળ્યો એ પણ લખશો તો આ કોલમનો હેતુ વધુ સારી રીતે સાર્થક થશે.
જવાબ આપનાર વાંચકો:
લગભગ 4૦૦ જેટલાં ગુજરાત સમાચારના બુદ્ધિશાળી વાંચકો ! End Game
ત્રણ નાના બોક્સ છે. દરેક બોક્સમાં બે લખોટીઓ છે. કુલ છ લખોટીમાં ત્રણ કાળી અને ત્રણ સફેદ લખોટીઓ છે. દરેક બોક્સ પર એક લેબલ લગાડેલ છે. દરેક લેબલ પર સફેદ-સફેદ, સફેદ-કાળો, અથવા કાળો-કાળો લખેલ છે. પણ દરેક લેબલ ખોટું છે. દા.ત. કાળો-કાળો લખેલ લેબલવાળા બોક્સમાં એક પણ કાળી લખોટી નથી. આંખે પાટા બાંધી તમે કહેશો એ બોક્સમાંથી એક એક લખોટી કાઢી શકો છો. ઓછામાં ઓછા લખોટી કાઢીને તમારે દરેક બોક્સના સાચા લેબલ બતાવવાના છે. કેટલી લખોટી જોઇને કહી શકશો તમે, દરેક લખોટી ક્યાં બોક્સમાંથી કાઢશો ? જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.
Wednesday, November 17, 2010
દીકરીઓની ઉંમર કેટલી ?
ગયા અંકનો સવાલ:
એક વસ્તીગણતરીકાર એક ઘેર જાય છે જ્યાં એક માણસ એની ત્રણ દીકરીઓ સાથે રહેતો હતો.વસ્તીગણતરીકાર : "તમારી દીકરીઓની ઉંમર કેટલી છે?" ( કોઈ છોકરીની ઉંમર એના પપ્પાને તો પુછાય ને !!) માણસ: "એમની ઉંમેરોનો ગુણાકાર ૭૨ છે, અને સરવાળો મારા ઘર નંબર જેટલો છે."
વસ્તીગણતરીકાર :"પણ એ પુરતી માહિતી નથી."
માણસ: "સારું, સૌથી મોટી દીકરીને ચોકલેટ બહુ ભાવે છે."
કહો જોઈએ વાંચકો, આ ભાઈની દીકરીઓની ઉંમર !!
જવાબ:
આ કોયડો છેક ૧૮૫૯મા લખાયેલ પુસ્તક 'ધ કમ્પેનિયન ફોર યુથ'માં થોડા ભિન્ન સ્વરૂપે સૌ પ્રથમ વખત લખાયેલ. પછી કેટલાય જુદા જુદા સ્વરૂપોથી આ કોયડો ખુબ પ્રચલિત બન્યો. આ કોયડાનો સાચો જવાબ છે: દીકરીઓની ઉંમર હશે ૩,૩,અને ૮ વર્ષ.
ચાલો જોઈએ કેવી રીતે મળશે આવા આંકડા જયારે કોયડામાં ખાસ કઈ માહિતી આપી હોય એવું લાગતું નથી.
પ્રથમ વાક્ય: ઉંમેરોનો ગુણાકાર ૭૨ છે, અને સરવાળો મારા ઘર નંબર જેટલો છે.
હવે ૭૨ના અવયવો છે ૧,૨,૩,૪,૬,૮,૯,૧૨,૧૮,૨૪,૩૬,૭૨ અને વસ્તીગણતરીકારને એનો ઘર નંબર જાણે છે.
હવે શક્ય ઉકેલો નીચે મુજબ મળી શકે.
ક્રમ | નાની દીકરી | વચ્ચેની દીકરી | મોટી દીકરી | ઘર નંબર |
| 1 | 1 | 1 | 72 | 74 |
| 2 | 1 | 2 | 36 | 39 |
| 3 | 1 | 3 | 24 | 28 |
| 4 | 1 | 4 | 18 | 23 |
| 5 | 1 | 6 | 12 | 19 |
| 6 | 1 | 8 | 9 | 18 |
| 7 | 2 | 2 | 18 | 22 |
| 8 | 2 | 3 | 12 | 17 |
| 9 | 2 | 4 | 9 | 15 |
| 10 | 2 | 6 | 6 | 14 |
| 11 | 3 | 3 | 8 | 14 |
| 12 | 3 | 4 | 6 | 13 |
હવે બીજું વાક્ય: "પણ એ પુરતી માહિતી નથી"
મતલબ એના ઘર નંબર માટે વસ્તીગણતરીકારને એકથી વધુ જવાબો મળ્યા જેથી એમણે કહ્યું કે માહિતી પુરતી નથી. નહિ તો એમણે જવાબ આપી દીધો હોત. આવી શક્યતા માત્ર ઘર નંબર ૧૪ માટે જ છે. (ઉપરના ટેબલ પરથી )
એટલે હવે બાકી રહેતા શક્ય ઉકેલો:
10 | 2 | 6 | 6 | 14 |
| 11 | 3 | 3 | 8 | 14 |
ત્રીજું વાક્ય : સૌથી મોટી દીકરીને ચોકલેટ બહુ ભાવે છે.
મતલબ મોટી દીકરી એક જ છે. ઉપરના શક્ય ઉકેલોમાંથી પ્રથમ ( નંબર ૧૦ ) ઉકેલમાં બે મોટી દીકરીઓ હોવાથી, એ શક્યતા ગણકારતા મળતો જવાબ બે દીકરીઓની ઉંમર ૩ વરસની અને મોટી દીકરીની ઉંમર ૮ વર્ષની છે!!
જવાબ આપનાર વાંચકો:
સંપૂર્ણ સાચો જવાબ માત્ર નેહલ શાહે (હિંમતનગર) આપ્યો. અને ડીમ્પલ જોશીએ સારો પ્રયત્ન કર્યો.
End Game
ત્રણ નાના બોક્સ છે. દરેક બોક્સમાં બે લખોટીઓ છે. કુલ છ લખોટીમાં ત્રણ કાળી અને ત્રણ સફેદ લખોટીઓ છે. દરેક બોક્સ પર એક લેબલ લગાડેલ છે. દરેક લેબલ પર સફેદ-સફેદ, સફેદ-કાળો, અથવા કાળો-કાળો લખેલ છે. પણ દરેક લેબલ ખોટું છે. દા.ત. કાળો-કાળો લખેલ લેબલવાળા બોક્સમાં એક પણ કાળી લખોટી નથી. ઓછામાં ઓછા બોક્સ ખોલીને સાચા લેબલ બનાવવાના છે. કેટલા બોક્સ ખોલશો તમે ?
જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.
Tuesday, November 9, 2010
ટાપુ, નાળીયેર અને પાંચ માણસો
ગયા અંકનો સવાલ:
પાંચ માણસો પ્લેન તૂટતાં એક નિર્જન ટાપુ પર ફસાયા. પહેલાં દિવસે ટાપુ પરથી તેઓએ નાળીયેર ભેગા કર્યા. સાંજે અંધારું થઇ જતા નક્કી કર્યું કે હવે કાલે ભાગ પાડીશું. રાત્રે સાવચેતીના ભાગ રૂપે દર-એકે જાગવાના વારા રાખ્યા. પહેલો માણસ થોડી વાર પછી ચોકી કરીને કંટાળ્યો. નવરાશના સમયનો ઉપયોગ કરવા એણે નાળીયેરના પાંચ ભાગ કર્યા, એક નાળીયેર વધ્યું, જે તેણે વાંદરાને આપી દીધું. પોતાનો ભાગ સંતાડી દીધો. બાકીના ચાર ભાગનો એક ઢગ બનાવી દીધો. લાંબી વાર્તા ટૂંકમાં, દરેક માણસે આવું કર્યું. સવારે બધાએ સરખા ભાગ પડી લીધા, વાંદરાને આપવાની જરૂર ના પડી. આવી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ અથવા તે લોકોએ કેટલાં નાળીયેર ભેગા કર્યા હશે ? બીજો પ્રશ્ન, દરેકના ભાગે કેટલાં નાળીયેર આવ્યા હશે?
જવાબ:
૩૧૨૧
આ કોયડો ત્રણ મિત્રોના કોયડા જેવો જ છે, અહીં મિત્રોની સંખ્યા પાંચ છે. એટલે ગયા અંકમાં જે ઉકેલ આપેલ એ જ રીત અહીં પણ લાગુ પડી શકાય. પણ ગણિતની ગમ્મત માટે અલગ રીતથી આ કોયડાનો ઉકેલ જોઈએ. ( જે ગયા અંકના કોયડામાં પણ લાગુ પડી શકાય.)
ધારો કે શરૂઆતમાં n નાળીયેર હતાં, માટે n ને 5a +1 ના સ્વરૂપે લખી શકાય જ્યાં a જેટલાં નાળીયેર પહેલા માણસે રાખ્યા હશે. એ જ રીતે ધારો કે બીજા માણસે b જેટલાં નાળીયેર રાખ્યા હોય, ત્રીજા માણસે c , ચોથા માણસે d અને છેલ્લા માણસે e જેટલાં નાળીયેર રાખ્યા હોય. જ્યાં n અને a ,b ,c ,d ,e ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.
માટે,
હવે સમીકરણ V ની કિમંત IV માં , IV ની કિમંત III માં, III ની કિમંત II માં અને II ની કિમંત I મૂકતા,
n + 4 = 5 × (5/4)4 (e + 1) મળે. માટે, n = (55/44) (e + 1) − 4 = 3125 / 256 (e + 1) − 4
અહી n ધન પૂર્ણાંક હોવાથી, (e +1 ) એ 256 થી વિભાજ્ય હોય. (કેમ કે 3125 /256 એ અપૂર્ણાંક છે.)
માટે સામાન્ય સમીકરણ આવું મળે, n = 3125r − 4, જ્યાં r એ ધન પૂર્ણાંક છે.
રની સૌથી નાની કિમંત 1 લેતાં , n = 3121 મળે.
આ કિમંત ઉપરના સમીકરણોમાં મૂકતા,
જવાબ આપનાર વાંચકો:
સંપૂર્ણ સાચો જવાબ માત્ર વૈભવ શાહે (ભરૂચ) આપ્યો.
સરસ પ્રયત્ન કરનાર વાંચકો:
કેવલ શાહ
કમલનયન કિનારીવાલા
ડો. સમીર દાણી, અમદાવાદ
ભૈરવ ભંડારી, વલસાડ
સુહાન પટેલ
હિમાંશુ જોગી, સિહોર
ગુંજન શેઠ
રોનક ઠક્કર, પાલનપુર
સાચો જવાબ મોકલનાર સૌ વાંચકોના નામ www .alpeshbhalala .com પર મુકેલાં છે.
End Game
આ ખુબ જાણીતી પઝલ છે પણ મજ્જાની છે. જેમ જેમ 'ચલાવતા' જશો એમ એમ ચાવી મળતી જશે!
એક વસ્તીગણતરીકાર એક ઘેર જાય છે જ્યાં એક માણસ એની ત્રણ દીકરીઓ સાથે રહેતો હતો.
વસ્તીગણતરીકાર : "તમારી દીકરીઓની ઉંમર કેટલી છે?" ( કોઈ છોકરીની ઉંમર એના પપ્પાને તો પુછાય ને !!)
માણસ: "એમની ઉંમેરોનો ગુણાકાર ૭૨ છે, અને સરવાળો મારા ઘર નંબર જેટલો છે."
વસ્તીગણતરીકાર :"પણ એ પુરતી માહિતી નથી."
માણસ: "સારું, સૌથી મોટી દીકરીને ચોકલેટ બહુ ભાવે છે."
કહો જોઈએ વાંચકો, આ ભાઈની દીકરીઓની ઉંમર !!
જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.
સૌ સાચા જવાબ મોકલનાર વાંચકો:
લલિત વાઢેર
અંકિતા ચૌહાણ
દિપાલી શાહ
રાકેશ શુદ્ર
કૌશિક પટેલ
સાગર પટેલ
પાંચ માણસો પ્લેન તૂટતાં એક નિર્જન ટાપુ પર ફસાયા. પહેલાં દિવસે ટાપુ પરથી તેઓએ નાળીયેર ભેગા કર્યા. સાંજે અંધારું થઇ જતા નક્કી કર્યું કે હવે કાલે ભાગ પાડીશું. રાત્રે સાવચેતીના ભાગ રૂપે દર-એકે જાગવાના વારા રાખ્યા. પહેલો માણસ થોડી વાર પછી ચોકી કરીને કંટાળ્યો. નવરાશના સમયનો ઉપયોગ કરવા એણે નાળીયેરના પાંચ ભાગ કર્યા, એક નાળીયેર વધ્યું, જે તેણે વાંદરાને આપી દીધું. પોતાનો ભાગ સંતાડી દીધો. બાકીના ચાર ભાગનો એક ઢગ બનાવી દીધો. લાંબી વાર્તા ટૂંકમાં, દરેક માણસે આવું કર્યું. સવારે બધાએ સરખા ભાગ પડી લીધા, વાંદરાને આપવાની જરૂર ના પડી. આવી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ અથવા તે લોકોએ કેટલાં નાળીયેર ભેગા કર્યા હશે ? બીજો પ્રશ્ન, દરેકના ભાગે કેટલાં નાળીયેર આવ્યા હશે?
જવાબ:
૩૧૨૧
આ કોયડો ત્રણ મિત્રોના કોયડા જેવો જ છે, અહીં મિત્રોની સંખ્યા પાંચ છે. એટલે ગયા અંકમાં જે ઉકેલ આપેલ એ જ રીત અહીં પણ લાગુ પડી શકાય. પણ ગણિતની ગમ્મત માટે અલગ રીતથી આ કોયડાનો ઉકેલ જોઈએ. ( જે ગયા અંકના કોયડામાં પણ લાગુ પડી શકાય.)
ધારો કે શરૂઆતમાં n નાળીયેર હતાં, માટે n ને 5a +1 ના સ્વરૂપે લખી શકાય જ્યાં a જેટલાં નાળીયેર પહેલા માણસે રાખ્યા હશે. એ જ રીતે ધારો કે બીજા માણસે b જેટલાં નાળીયેર રાખ્યા હોય, ત્રીજા માણસે c , ચોથા માણસે d અને છેલ્લા માણસે e જેટલાં નાળીયેર રાખ્યા હોય. જ્યાં n અને a ,b ,c ,d ,e ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.
માટે,
| n = 5a + 1 | => n + 4 = 5(a + 1) ...........................................................I | |||
| 4a = 5b + 1 | => 4(a + 1) = 5(b + 1) => (a + 1) = 5 /4(b + 1)..............II | |||
| 4b = 5c + 1 | => 4(b + 1) = 5(c + 1) => (b + 1) = 5 /4(c + 1)...............III | |||
| 4c = 5d + 1 | => 4(c + 1) = 5(d + 1) => (c + 1) = 5 /4(d + 1)...............IV | |||
| 4d = 5e + 1 | => 4(d + 1) = 5(e + 1) =>(d + 1) = 5 /4(e + 1).................V |
હવે સમીકરણ V ની કિમંત IV માં , IV ની કિમંત III માં, III ની કિમંત II માં અને II ની કિમંત I મૂકતા,
n + 4 = 5 × (5/4)4 (e + 1) મળે. માટે, n = (55/44) (e + 1) − 4 = 3125 / 256 (e + 1) − 4
અહી n ધન પૂર્ણાંક હોવાથી, (e +1 ) એ 256 થી વિભાજ્ય હોય. (કેમ કે 3125 /256 એ અપૂર્ણાંક છે.)
માટે સામાન્ય સમીકરણ આવું મળે, n = 3125r − 4, જ્યાં r એ ધન પૂર્ણાંક છે.
રની સૌથી નાની કિમંત 1 લેતાં , n = 3121 મળે.
આ કિમંત ઉપરના સમીકરણોમાં મૂકતા,
| સૌથી પહેલા ઉઠેલા માણસને ૮૨૮, બીજા માણસને ૭૦૩, ત્રીજા ઉઠેલા માણસને ૬૦૩, ચોથા માણસને ૫૨૩ અંદ છેલ્લા માણસને ૪૨૯ નાળીયેર મળ્યા હશે. |
જવાબ આપનાર વાંચકો:
સંપૂર્ણ સાચો જવાબ માત્ર વૈભવ શાહે (ભરૂચ) આપ્યો.
સરસ પ્રયત્ન કરનાર વાંચકો:
કેવલ શાહ
કમલનયન કિનારીવાલા
ડો. સમીર દાણી, અમદાવાદ
ભૈરવ ભંડારી, વલસાડ
સુહાન પટેલ
હિમાંશુ જોગી, સિહોર
ગુંજન શેઠ
રોનક ઠક્કર, પાલનપુર
સાચો જવાબ મોકલનાર સૌ વાંચકોના નામ www .alpeshbhalala .com પર મુકેલાં છે.
End Game
આ ખુબ જાણીતી પઝલ છે પણ મજ્જાની છે. જેમ જેમ 'ચલાવતા' જશો એમ એમ ચાવી મળતી જશે!
એક વસ્તીગણતરીકાર એક ઘેર જાય છે જ્યાં એક માણસ એની ત્રણ દીકરીઓ સાથે રહેતો હતો.
વસ્તીગણતરીકાર : "તમારી દીકરીઓની ઉંમર કેટલી છે?" ( કોઈ છોકરીની ઉંમર એના પપ્પાને તો પુછાય ને !!)
માણસ: "એમની ઉંમેરોનો ગુણાકાર ૭૨ છે, અને સરવાળો મારા ઘર નંબર જેટલો છે."
વસ્તીગણતરીકાર :"પણ એ પુરતી માહિતી નથી."
માણસ: "સારું, સૌથી મોટી દીકરીને ચોકલેટ બહુ ભાવે છે."
કહો જોઈએ વાંચકો, આ ભાઈની દીકરીઓની ઉંમર !!
જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.
સૌ સાચા જવાબ મોકલનાર વાંચકો:
લલિત વાઢેર
અંકિતા ચૌહાણ
દિપાલી શાહ
રાકેશ શુદ્ર
કૌશિક પટેલ
સાગર પટેલ
Saturday, November 6, 2010
શુભ દિપાવલી - નૂતન વર્ષાભિનંદન
આજે ગુજરાતની અસ્મિતાની માવજત કરવાનો અવસર છે. આજે ઘરમાં એક સુંદર પુસ્તક કે એક સુંદર કેસેટ ભલે આવે. આજે ઘરનાં સંતાનો સાથે બેસીને એકાદ સુંદર કવિતા વંચાય કે એક ભજન ગવાય તો મિષ્ટાન્ન પણ અધિક મધુર બનશે. સરેરાશ ગુજરાતી નાગરિક ઉત્સવપ્રિય અને શાંતિપ્રિય છે. એને વિશ્વનાગરિક થવામાં મુશ્કેલી નથી પડતી. એ દુનિયાના કોઈ પણ ખૂણે જાય ત્યાં ગરબો લેતો જાય છે.
- ગુણવંત શાહ
This is from one of my old post.
Wednesday, October 27, 2010
ત્રણ મિત્રો, કુતરો અને પેંડા !
ગયા અંકનો સવાલ:
ત્રણ મિત્રો દશેરા પર પેંડા લાવ્યા. પણ દશેરાનો ઉપવાસ હોય ખાઈ શક્યા નહિ. નક્કી થયું સવારે ઉઠીને ખાશું! બે વાગ્યે એક મિત્ર ઉભો થયો અને કડકડતી ભૂખ લાગી હતી, વિચાર્યું કે બાર વાગ્યા પછી તો ખવાય. પેંડા ત્રણ સરખા ભાગે વહેંચ્યા અને એક પેંડો વધ્યો એ ફળિયામાં સુતેલાં કુતરાને નાખી દીધો, પોતાના ભાગના પેંડા ખાઈ (પેટ પર હાથ ફેરવતાં !) ઊંઘી ગયો. આવું જ બીજા મિત્ર સાથે પણ થયું. ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો, પોતાનો ભગ ખાઈ લીધો અને સુઈ ગયો. અને ત્રીજા મિત્રની આંખ ખુલી તો એણે પણ આવું જ કર્યું. ( આખરે ત્રણેય મિત્રો ખરા ને !). સવારે બધા ઉઠ્યા, ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો ( હવે, કુતરો ધરાઈ ગયો !) સૌ પોતપોતાનો ભાગ ખાઈ ગયા !
હવે આ વાર્તા પછી સવાલ એ થયો કે, તો પેંડા હશે કેટલાં? ( સૌથી નાની સખ્યા શોધવી, નહિ તો આ લોકો ખાઈ નહિ શકે !)
જવાબ:
૭૯.
લગભગ ૮૦ % જવાબો સાચા મળ્યા, પણ માત્ર ૧-૨% લોકોએ જ ખરી સાબિતી આપી. મહદ અંશે બધાએ ફક્ત "તાળો જ મેળવ્યો"! જવાબ કેવી રીતે આવ્યો એ અગત્યનું છે નહિ કે તમે ધારેલો જવાબ સાચો જ છે એ ચકાચવાનું !! ૭૯ પેન્ડામાંથી એક કુતરાને નાખ્યોને ૭૮ન ત્રણ ભાગ કર્યા, વગેરે વગેરે એ સાબિતી નથી. એ તાળો મેળવ્યો કહેવાય અને તાળો મેળવતાં પહેલાં જવાબ મેળવવાની પક્રિયાનો અધ્યાહાર ના ચાલે.
આ કોયડો આપણે ત્યાં ખુબ પ્રખ્યાત છે. (અને કદાચ એટલે જ ઢગલાબંધ જવાબો મળ્યા.) પણ આવો જ એક કોયડો દુનિયાના બીજા દેશોમાં પણ પ્રચલિત છે જે છેલ્લે આજની એન્ડ ગેમમાં મુકેલ છે.
ચાલો હવે ઉકેલ જોઈએ. બે મુખ્ય રીતે આ સવાલ ઉકેલી શકાય. ૧) સવારે બધા મિત્રો ઉઠ્યા ત્યારે ધારો કે "અ" પેંડા હતાં. અને આ ગણતરી આ જ રીતે ઉંધા ક્રમમાં ચાલે. ૨) ધારો કે "અ" પેંડા લાવ્યા. પહેલાં મિત્રે ત્રણ ભાગ પાડ્યા. અને ગણતરી આગળ ચાલે. બંને રીતે છેલ્લે એક સમીકરણ મળશે જે પૂર્ણાંક માટે ઉકેલતાં જવાબ મળશે. પ્રથમ રીતથી આ સવાલ ઉકેલતાં સમીકરણ ખાસ અઘરું નહિ બને કારણ કે આપણે દરેક વખતે ૩થી ભાંગવા નહિ પડે.
ધારો કે સવારે ઉઠ્યા ત્યારે દરેકના ભાગે x પેંડા આવ્યા. મતલબ કુલ 3x +૧ પેંડા સવારે રહ્યા હતાં.
ત્રીજો મિત્ર ઉઠ્યો ત્યારે કુલ ૧/૨ ( 3x +૧ ) + ( 3x +૧) +૧ = ૧/૨ ( ૯x + ૫ ) પેંડા હશે.
બીજો મિત્ર ઉઠ્યો ત્યારે કુલ (૯x +૫ )/ ૪ + ૧/૨ ( ૯ x +૫ ) +૧ = ૧/૪ (૨૭ x + ૧૯)
એ જ રીતે પ્રથમ મિત્ર ઉઠ્યો ત્યારે, ૧/૮ ( ૮૧ x + ૬૫ ) પેંડા હશે .
હવે, ૧/૮ ( ૮૧ x + ૬૫ ) = ૧૦ x + ૮ + ૧/૮ (x + ૧ )
અહી પેંડાની સખ્યા પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય અને x પણ પૂર્ણાંક સંખ્યાહોય, ૧/૮ ( x + ૧ ) પૂર્ણાંક સંખ્યા જ હોય. માટે x +૧ એ ૮થી ભાજ્ય સંખ્યા હોવી જોઈએ. આવી સૌથી નાની સંખ્યા મેળવવા x +૧ = ૮ લેતા x = ૭ મળે. મતલબ સવારે ઉઠી દરેક મિત્રના ભાગમાં સાત પેંડા આવ્યા.
કુલ પેંડા = ૧૦ x + ૮ + ૧/૮ (x + ૧ ) = ૧૦*૭+૮+૧ = ૭૯.
જવાબ આપનાર વાંચકો:
સંપૂર્ણ સાચા જવાબો માત્ર નીચેના વાંચકોએ આપ્યા!
વૈભવ શાહ,ભરૂચ
પીયૂષ પટેલ, ન્યુ જર્સી, અમેરિકા
દિપાલી વી શાહ, કપડવંજ
કલ્પેશ અખાણી, રાધનપુર
સરસ પ્રયત્ન કરનાર વાંચકો:
પાર્થ મહેતા, વેજલપુર
કમલનયન કિનારીવાલા
મુકુલ ત્રિવેદી, અમદાવાદ
ઉમંગ સુતરિયા
અક્ષય પટેલ, મોટી ખડોલ
સુપાશ્ર્વ મહેતા
સાચો જવાબ મોકલનાર સૌ વાંચકોના નામ www .alpeshbhalala .com પર મુકેલાં છે.
End Game
પાંચ માણસો પ્લેન તૂટતાં એક નિર્જન ટાપુ પર ફસાયા. પહેલાં દિવસે ટાપુ પરથી તેઓએ નાળીયેરભેગા કર્યા. સાંજે અંધારું થઇ જતા નક્કી કર્યું કે હવે કાલે ભાગ પાડીશું. રાત્રે સાવચેતીના ભાગ રૂપે દર-એકે જાગવાના વારા રાખ્યા. પહેલો માણસ થોડી વાર પછી ચોકી કરીને કંટાળ્યો. નવરાશના સમયનો ઉપયોગ કરવા એણે નાળીયેરના પાંચ ભાગ કર્યા, એક નાળીયેર વધ્યું, જે તેણે વાંદરાને આપી દીધું. પોતાનો ભાગ સંતાડી દીધો. બાકીના ચાર ભાગનો એક ઢગ બનાવી દીધો. લાંબી વાર્તા ટૂંકમાં, દરેક માણસે આવું કર્યું. સવારે બધાએ સરખા ભાગ પડી લીધા, વાંદરાને આપવાની જરૂર ના પડી. આવી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ અથવા તે લોકોએ કેટલાં નાળીયેર ભેગા કર્યા હશે ? બીજો પ્રશ્ન, દરેકના ભાગે કેટલાં નાળીયેર આવ્યા હશે?
જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.
બધા જ ખરા જવાબ મોકલનાર વાંચકો:
વી પી મેહતા
ભાવેશ ઝીન્ઝાળા
સુથાર રોનક
સંજય પટેલ
દર્શન ત્રિવેદી
નીતિન રામચંદાની
વિશાલ સાઈમન
જનક પંચાલ
અંકિતા નસીત
રાજેશ કાસુન્દ્રા
હિતેશ ભાલીયા
વિરલ ફીચડીયા
હની પી શાહ
ડો સમીર દાણી
રોનક રાવલ
મિતેશ પટેલ
જયદીપ પટેલ
ડો હિતેશ ભાલીયા
સુમિત વાલુ
આરતી કાશીપરા
નિરાળી અમૃતિયા
કેવળ શાહ
અનિલકુમાર શાહ
દિવ્યેશ પોલરા
પ્રવીણ શાહ
ચિરાગ પંડ્યા
નિધિ મકવાણા
રિદ્ધિ પંડ્યા
ફાલ્ગુની દોશી
હેમંત પંડ્યા
એસ બી મહાજન
અસારી જેમ્સ
દિનેશ વકીલ
શિવાંગ સોની
અમી પટેલ
ભારતી સોલંકી
અરીફ્ખાન પઠાણ
કનુભાઈ પટેલ
જયમીન પરીખ
શિવાંગ વચ્ચરાજાની
દૈનિક શાહ
ભાવેશ નાકરાણી
મહેન્દ્ર પ્રજાપતિ
રેણુકા ત્રિવેદી
નિસર્ગ ત્રિવેદી
એકતા પટેલ
અંકિત બાર્વે
વીજેશ સવાણી
પ્રણવ જોશી
પ્રણાલી ભટ્ટ
પીયુષ શાહ
મોહમ્મદ
હિમાંશુ જોશી
હીના રાદડિયા
રીતેશ ગજરે
નિરંજન બારિયા
ભૈરવ ભંડારી
હિતેશ સંઘવી
ભાવેશ હડીયલ
મલેક રીયાઝ અનવર
હિતેશ પોકાર
રાજ દિગ્વિજયસિંહ
સમીર રાવલ
એન ડી પટેલ
જીગરસિંહ વાઘેલા
જયેન્દ્રભાઈ સગલાની
અભય પટેલ
ઉપેન્દ્ર મહેતા
રીન્કુ મકવાણા
મયુર પટેલ
દીપક પ્રજાપતિ
અજય પટેલ
બી સી વી
ધીરજ પટેલ
લલિત વાઢેર
ભાવિક ચૌહાણ
રીકેન ગાબાણી
વિપુલ વાઢેર
પીયુષ કામાની
આભાર સૌ મિત્રોનો આટલા ઉત્સાહથી જવાબો મોકલવા બદલ !
ત્રણ મિત્રો દશેરા પર પેંડા લાવ્યા. પણ દશેરાનો ઉપવાસ હોય ખાઈ શક્યા નહિ. નક્કી થયું સવારે ઉઠીને ખાશું! બે વાગ્યે એક મિત્ર ઉભો થયો અને કડકડતી ભૂખ લાગી હતી, વિચાર્યું કે બાર વાગ્યા પછી તો ખવાય. પેંડા ત્રણ સરખા ભાગે વહેંચ્યા અને એક પેંડો વધ્યો એ ફળિયામાં સુતેલાં કુતરાને નાખી દીધો, પોતાના ભાગના પેંડા ખાઈ (પેટ પર હાથ ફેરવતાં !) ઊંઘી ગયો. આવું જ બીજા મિત્ર સાથે પણ થયું. ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો, પોતાનો ભગ ખાઈ લીધો અને સુઈ ગયો. અને ત્રીજા મિત્રની આંખ ખુલી તો એણે પણ આવું જ કર્યું. ( આખરે ત્રણેય મિત્રો ખરા ને !). સવારે બધા ઉઠ્યા, ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો ( હવે, કુતરો ધરાઈ ગયો !) સૌ પોતપોતાનો ભાગ ખાઈ ગયા !
હવે આ વાર્તા પછી સવાલ એ થયો કે, તો પેંડા હશે કેટલાં? ( સૌથી નાની સખ્યા શોધવી, નહિ તો આ લોકો ખાઈ નહિ શકે !)
જવાબ:
૭૯.
લગભગ ૮૦ % જવાબો સાચા મળ્યા, પણ માત્ર ૧-૨% લોકોએ જ ખરી સાબિતી આપી. મહદ અંશે બધાએ ફક્ત "તાળો જ મેળવ્યો"! જવાબ કેવી રીતે આવ્યો એ અગત્યનું છે નહિ કે તમે ધારેલો જવાબ સાચો જ છે એ ચકાચવાનું !! ૭૯ પેન્ડામાંથી એક કુતરાને નાખ્યોને ૭૮ન ત્રણ ભાગ કર્યા, વગેરે વગેરે એ સાબિતી નથી. એ તાળો મેળવ્યો કહેવાય અને તાળો મેળવતાં પહેલાં જવાબ મેળવવાની પક્રિયાનો અધ્યાહાર ના ચાલે.
આ કોયડો આપણે ત્યાં ખુબ પ્રખ્યાત છે. (અને કદાચ એટલે જ ઢગલાબંધ જવાબો મળ્યા.) પણ આવો જ એક કોયડો દુનિયાના બીજા દેશોમાં પણ પ્રચલિત છે જે છેલ્લે આજની એન્ડ ગેમમાં મુકેલ છે.
ચાલો હવે ઉકેલ જોઈએ. બે મુખ્ય રીતે આ સવાલ ઉકેલી શકાય. ૧) સવારે બધા મિત્રો ઉઠ્યા ત્યારે ધારો કે "અ" પેંડા હતાં. અને આ ગણતરી આ જ રીતે ઉંધા ક્રમમાં ચાલે. ૨) ધારો કે "અ" પેંડા લાવ્યા. પહેલાં મિત્રે ત્રણ ભાગ પાડ્યા. અને ગણતરી આગળ ચાલે. બંને રીતે છેલ્લે એક સમીકરણ મળશે જે પૂર્ણાંક માટે ઉકેલતાં જવાબ મળશે. પ્રથમ રીતથી આ સવાલ ઉકેલતાં સમીકરણ ખાસ અઘરું નહિ બને કારણ કે આપણે દરેક વખતે ૩થી ભાંગવા નહિ પડે.
ધારો કે સવારે ઉઠ્યા ત્યારે દરેકના ભાગે x પેંડા આવ્યા. મતલબ કુલ 3x +૧ પેંડા સવારે રહ્યા હતાં.
ત્રીજો મિત્ર ઉઠ્યો ત્યારે કુલ ૧/૨ ( 3x +૧ ) + ( 3x +૧) +૧ = ૧/૨ ( ૯x + ૫ ) પેંડા હશે.
બીજો મિત્ર ઉઠ્યો ત્યારે કુલ (૯x +૫ )/ ૪ + ૧/૨ ( ૯ x +૫ ) +૧ = ૧/૪ (૨૭ x + ૧૯)
એ જ રીતે પ્રથમ મિત્ર ઉઠ્યો ત્યારે, ૧/૮ ( ૮૧ x + ૬૫ ) પેંડા હશે .
હવે, ૧/૮ ( ૮૧ x + ૬૫ ) = ૧૦ x + ૮ + ૧/૮ (x + ૧ )
અહી પેંડાની સખ્યા પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય અને x પણ પૂર્ણાંક સંખ્યાહોય, ૧/૮ ( x + ૧ ) પૂર્ણાંક સંખ્યા જ હોય. માટે x +૧ એ ૮થી ભાજ્ય સંખ્યા હોવી જોઈએ. આવી સૌથી નાની સંખ્યા મેળવવા x +૧ = ૮ લેતા x = ૭ મળે. મતલબ સવારે ઉઠી દરેક મિત્રના ભાગમાં સાત પેંડા આવ્યા.
કુલ પેંડા = ૧૦ x + ૮ + ૧/૮ (x + ૧ ) = ૧૦*૭+૮+૧ = ૭૯.
જવાબ આપનાર વાંચકો:
સંપૂર્ણ સાચા જવાબો માત્ર નીચેના વાંચકોએ આપ્યા!
વૈભવ શાહ,ભરૂચ
પીયૂષ પટેલ, ન્યુ જર્સી, અમેરિકા
દિપાલી વી શાહ, કપડવંજ
કલ્પેશ અખાણી, રાધનપુર
સરસ પ્રયત્ન કરનાર વાંચકો:
પાર્થ મહેતા, વેજલપુર
કમલનયન કિનારીવાલા
મુકુલ ત્રિવેદી, અમદાવાદ
ઉમંગ સુતરિયા
અક્ષય પટેલ, મોટી ખડોલ
સુપાશ્ર્વ મહેતા
સાચો જવાબ મોકલનાર સૌ વાંચકોના નામ www .alpeshbhalala .com પર મુકેલાં છે.
End Game
પાંચ માણસો પ્લેન તૂટતાં એક નિર્જન ટાપુ પર ફસાયા. પહેલાં દિવસે ટાપુ પરથી તેઓએ નાળીયેરભેગા કર્યા. સાંજે અંધારું થઇ જતા નક્કી કર્યું કે હવે કાલે ભાગ પાડીશું. રાત્રે સાવચેતીના ભાગ રૂપે દર-એકે જાગવાના વારા રાખ્યા. પહેલો માણસ થોડી વાર પછી ચોકી કરીને કંટાળ્યો. નવરાશના સમયનો ઉપયોગ કરવા એણે નાળીયેરના પાંચ ભાગ કર્યા, એક નાળીયેર વધ્યું, જે તેણે વાંદરાને આપી દીધું. પોતાનો ભાગ સંતાડી દીધો. બાકીના ચાર ભાગનો એક ઢગ બનાવી દીધો. લાંબી વાર્તા ટૂંકમાં, દરેક માણસે આવું કર્યું. સવારે બધાએ સરખા ભાગ પડી લીધા, વાંદરાને આપવાની જરૂર ના પડી. આવી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ અથવા તે લોકોએ કેટલાં નાળીયેર ભેગા કર્યા હશે ? બીજો પ્રશ્ન, દરેકના ભાગે કેટલાં નાળીયેર આવ્યા હશે?
જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.
બધા જ ખરા જવાબ મોકલનાર વાંચકો:
વી પી મેહતા
ભાવેશ ઝીન્ઝાળા
સુથાર રોનક
સંજય પટેલ
દર્શન ત્રિવેદી
નીતિન રામચંદાની
વિશાલ સાઈમન
જનક પંચાલ
અંકિતા નસીત
રાજેશ કાસુન્દ્રા
હિતેશ ભાલીયા
વિરલ ફીચડીયા
હની પી શાહ
ડો સમીર દાણી
રોનક રાવલ
મિતેશ પટેલ
જયદીપ પટેલ
ડો હિતેશ ભાલીયા
સુમિત વાલુ
આરતી કાશીપરા
નિરાળી અમૃતિયા
કેવળ શાહ
અનિલકુમાર શાહ
દિવ્યેશ પોલરા
પ્રવીણ શાહ
ચિરાગ પંડ્યા
નિધિ મકવાણા
રિદ્ધિ પંડ્યા
ફાલ્ગુની દોશી
હેમંત પંડ્યા
એસ બી મહાજન
અસારી જેમ્સ
દિનેશ વકીલ
શિવાંગ સોની
અમી પટેલ
ભારતી સોલંકી
અરીફ્ખાન પઠાણ
કનુભાઈ પટેલ
જયમીન પરીખ
શિવાંગ વચ્ચરાજાની
દૈનિક શાહ
ભાવેશ નાકરાણી
મહેન્દ્ર પ્રજાપતિ
રેણુકા ત્રિવેદી
નિસર્ગ ત્રિવેદી
એકતા પટેલ
અંકિત બાર્વે
વીજેશ સવાણી
પ્રણવ જોશી
પ્રણાલી ભટ્ટ
પીયુષ શાહ
મોહમ્મદ
હિમાંશુ જોશી
હીના રાદડિયા
રીતેશ ગજરે
નિરંજન બારિયા
ભૈરવ ભંડારી
હિતેશ સંઘવી
ભાવેશ હડીયલ
મલેક રીયાઝ અનવર
હિતેશ પોકાર
રાજ દિગ્વિજયસિંહ
સમીર રાવલ
એન ડી પટેલ
જીગરસિંહ વાઘેલા
જયેન્દ્રભાઈ સગલાની
અભય પટેલ
ઉપેન્દ્ર મહેતા
રીન્કુ મકવાણા
મયુર પટેલ
દીપક પ્રજાપતિ
અજય પટેલ
બી સી વી
ધીરજ પટેલ
લલિત વાઢેર
ભાવિક ચૌહાણ
રીકેન ગાબાણી
વિપુલ વાઢેર
પીયુષ કામાની
આભાર સૌ મિત્રોનો આટલા ઉત્સાહથી જવાબો મોકલવા બદલ !
Wednesday, October 20, 2010
Student@competition
ગયા અંકનો સવાલ :
એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં હશે?
જવાબ :
ખાના નંબર ૧,૪,૯,૧૬,૨૫,૩૬,૪૯,૬૪,૮૧,૧૦૦ ખુલ્લાં હશે બાકી રહેલાં ખાનાઓ બંધ હશે.
દરેક નંબરના જેટલા અવયવો હોય એટલી વખત એ નંબરનું ખાનું ખોલ-બંધ થશે. ઉદાહરણ, ૬ નંબરના ખાનાને કોણ કેટલી વખત ખોલ-બંધ કરે છે તે જોઈએ. પ્રથમ નંબરનો વિદ્યાર્થી આ ખાનું ખોલશે, બીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી આ ખાનું બંધ કરશે, ત્રીજા નંબરનો વિધ્યાર્થી આ ખાનું ખોલશે અને છઠ્ઠા નંબરનો વિદ્યાર્થી આ ખાનું બંધ કરશે. કારણ કે ૬ના અવયવો છે ૧,૨,૩ અને ૬. આમ, જો અવયવોની સંખ્યા એકી હોય તો જ આ ખાનું છેલ્લે સુધી ખુલ્લું રહે. આપણાં ઉદાહરણમાં ૪ અવયવો છે માટે આં ખાનું છેલ્લે બંધ હશે. હવે સવાલ રહ્યો એવા નંબર ( સો કે તેથી નાના ) શોધવાનો જેના અવયવોની સંખ્યા એકી હોય. દા.ત. નંબર ૧. જેને એક માત્ર અવયવ છે ૧ પોતે. થોડા વધુ નંબર તપાસતાં ( અથવા ગાણિતિક સિધ્ધાંત, દરેક પૂર્ણ વર્ગ સખ્યાઓને એકી સખ્યામાં અવયવો હોય ) જણાશે કે ૪, ૯, ૧૬.. વગેરે પૂર્ણ વર્ગ સખ્યાઓને એકી સખ્યામાં અવયવો છે. (કેમ?? ) આમ ૧૦૦ કે તેથી નાની સખ્યાઓ મળે છે ૧,૪,૯,૧૬,૨૫,૩૬,૪૯,૬૪,૮૧ અને ૧૦૦. આ નંબરના ખાનાઓ છેલ્લે સુધી ખુલ્લાં રહેશે અને બાકીના ખાનાઓ બંધ રહેશે. છે ને રસપ્રદ! ગણિતના એક સુક્ષ્મ સિદ્ધાંતના ઉપયોગથી અઘરી લગતી પઝલ પળવારમાં ઉકેલી શકાય છે!
પઝલ ઉકેલનાર વાંચકો:
આનંદ ગૌતમ
પીયુષ કામાણી, થોરીયાળી
આશિષ પટેલ
મુસેબખાન પઠાણ, રતનપુર
દિપાલી વી શાહ, કપડવંજ
વૈભવ શાહ, ભરૂચ
પહેલાં બે દિવસમાં મળેલાં જવાબો પરથી આ લીસ્ટ બનેલું છે.
End Game :
ત્રણ મિત્રો દશેરા પર પેંડા લાવ્યા. પણ દશેરાનો ઉપવાસ હોય ખાઈ શક્યા નહિ. નક્કી થયું સવારે ઉઠીને ખાશું! બે વાગ્યે એક મિત્ર ઉભો થયો અને કડકડતી ભૂખ લાગી હતી, વિચાર્યું કે બાર વાગ્યા પછી તો ખવાય. પેંડા ત્રણ સરખા ભાગે વહેંચ્યા અને એક પેંડો વધ્યો એ ફળિયામાં સુતેલાં કુતરાને નાખી દીધો, પોતાના ભાગના પેંડા ખાઈ (પેટ પર હાથ ફેરવતાં !) ઊંઘી ગયો. આવું જ બીજા મિત્ર સાથે પણ થયું. ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો, પોતાનો ભગ ખાઈ લીધો અને સુઈ ગયો. અને ત્રીજા મિત્રની આંખ ખુલી તો એણે પણ આવું જ કર્યું. ( આખરે ત્રણેય મિત્રો ખરા ને !). સવારે બધા ઉઠ્યા, ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો ( હવે, કુતરો ધરાઈ ગયો !) સૌ પોતપોતાનો ભાગ ખાઈ ગયા !
હવે આ વાર્તા પછી સવાલ એ થયો કે, તો પેંડા હશે કેટલાં? ( સૌથી નાની સખ્યા શોધવી, નહિ તો આ લોકો ખાઈ નહિ શકે !)
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.
એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં હશે?
જવાબ :
ખાના નંબર ૧,૪,૯,૧૬,૨૫,૩૬,૪૯,૬૪,૮૧,૧૦૦ ખુલ્લાં હશે બાકી રહેલાં ખાનાઓ બંધ હશે.
દરેક નંબરના જેટલા અવયવો હોય એટલી વખત એ નંબરનું ખાનું ખોલ-બંધ થશે. ઉદાહરણ, ૬ નંબરના ખાનાને કોણ કેટલી વખત ખોલ-બંધ કરે છે તે જોઈએ. પ્રથમ નંબરનો વિદ્યાર્થી આ ખાનું ખોલશે, બીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી આ ખાનું બંધ કરશે, ત્રીજા નંબરનો વિધ્યાર્થી આ ખાનું ખોલશે અને છઠ્ઠા નંબરનો વિદ્યાર્થી આ ખાનું બંધ કરશે. કારણ કે ૬ના અવયવો છે ૧,૨,૩ અને ૬. આમ, જો અવયવોની સંખ્યા એકી હોય તો જ આ ખાનું છેલ્લે સુધી ખુલ્લું રહે. આપણાં ઉદાહરણમાં ૪ અવયવો છે માટે આં ખાનું છેલ્લે બંધ હશે. હવે સવાલ રહ્યો એવા નંબર ( સો કે તેથી નાના ) શોધવાનો જેના અવયવોની સંખ્યા એકી હોય. દા.ત. નંબર ૧. જેને એક માત્ર અવયવ છે ૧ પોતે. થોડા વધુ નંબર તપાસતાં ( અથવા ગાણિતિક સિધ્ધાંત, દરેક પૂર્ણ વર્ગ સખ્યાઓને એકી સખ્યામાં અવયવો હોય ) જણાશે કે ૪, ૯, ૧૬.. વગેરે પૂર્ણ વર્ગ સખ્યાઓને એકી સખ્યામાં અવયવો છે. (કેમ?? ) આમ ૧૦૦ કે તેથી નાની સખ્યાઓ મળે છે ૧,૪,૯,૧૬,૨૫,૩૬,૪૯,૬૪,૮૧ અને ૧૦૦. આ નંબરના ખાનાઓ છેલ્લે સુધી ખુલ્લાં રહેશે અને બાકીના ખાનાઓ બંધ રહેશે. છે ને રસપ્રદ! ગણિતના એક સુક્ષ્મ સિદ્ધાંતના ઉપયોગથી અઘરી લગતી પઝલ પળવારમાં ઉકેલી શકાય છે!
પઝલ ઉકેલનાર વાંચકો:
આનંદ ગૌતમ
પીયુષ કામાણી, થોરીયાળી
આશિષ પટેલ
મુસેબખાન પઠાણ, રતનપુર
દિપાલી વી શાહ, કપડવંજ
વૈભવ શાહ, ભરૂચ
પહેલાં બે દિવસમાં મળેલાં જવાબો પરથી આ લીસ્ટ બનેલું છે.
End Game :
ત્રણ મિત્રો દશેરા પર પેંડા લાવ્યા. પણ દશેરાનો ઉપવાસ હોય ખાઈ શક્યા નહિ. નક્કી થયું સવારે ઉઠીને ખાશું! બે વાગ્યે એક મિત્ર ઉભો થયો અને કડકડતી ભૂખ લાગી હતી, વિચાર્યું કે બાર વાગ્યા પછી તો ખવાય. પેંડા ત્રણ સરખા ભાગે વહેંચ્યા અને એક પેંડો વધ્યો એ ફળિયામાં સુતેલાં કુતરાને નાખી દીધો, પોતાના ભાગના પેંડા ખાઈ (પેટ પર હાથ ફેરવતાં !) ઊંઘી ગયો. આવું જ બીજા મિત્ર સાથે પણ થયું. ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો, પોતાનો ભગ ખાઈ લીધો અને સુઈ ગયો. અને ત્રીજા મિત્રની આંખ ખુલી તો એણે પણ આવું જ કર્યું. ( આખરે ત્રણેય મિત્રો ખરા ને !). સવારે બધા ઉઠ્યા, ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો ( હવે, કુતરો ધરાઈ ગયો !) સૌ પોતપોતાનો ભાગ ખાઈ ગયા !
હવે આ વાર્તા પછી સવાલ એ થયો કે, તો પેંડા હશે કેટલાં? ( સૌથી નાની સખ્યા શોધવી, નહિ તો આ લોકો ખાઈ નહિ શકે !)
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.
Thursday, October 14, 2010
મને ટીવી બનાવી દો ! – અનુ. રાજેશ્વરી શુક્લ
એક દિવસ એક પ્રાથમિક શાળાના શિક્ષિકાએ પોતાના વિદ્યાર્થીઓને કહ્યું :
‘ચાલો બાળકો, આજે તમે એક નિબંધ લખીને મને આપો. નિબંધનો વિષય છે : જો ભગવાન તમને કાંઈ માંગવાનું કહે તો તેમની પાસે તમે શું માંગશો ?’ બાળકોએ ઉત્સાહમાં આવી નિબંધ લખી આપ્યો. ત્યારબાદ શિક્ષિકા તે નિબંધો ઘરે તપાસવા લઈ ગયા.
સાંજે જ્યારે તેઓ નિબંધો તપાસી રહ્યા હતા, ત્યાં તેમના પતિ રૂમમાં આવ્યાં. તેમણે જોયું તો તેમનાં પત્ની રડી રહ્યાં હતાં. તેમણે પૂછ્યું : ‘કેમ શું થયું ? કેમ રડો છો ?’
શિક્ષિકાબેને કહ્યું, ‘હું મારા વિદ્યાર્થીઓનાં નિબંધો તપાસું છું.’ તેમના પતિને એક કાગળ આપતાં તેમણે ઉમેર્યું, ‘આ જુઓ, તમે પણ આ નિબંધ વાંચી જુઓ….’
તેમના પતિએ નિબંધ વાંચવાનું શરૂ કર્યું. તેમાં બાળકે લખ્યું હતું કે :
‘હે ઈશ્વર, જો તારે મને કાંઈ આપવું જ હોય તો તું મને ટી.વી. બનાવી દે. હું તેનું સ્થાન ગ્રહણ કરવા માગું છું. હું ટી.વીની જેમ ઘરમાં રહેવા માંગું છું કે જેને માટે ઘરમાં ખાસ જગ્યા હોય. મારી આસપાસ મારાં કુટુંબનાં તમામ સભ્યો હોય. સાચ્ચે જ હું ગંભીર રીતે આ કહું છું જેથી મારા કુટુંબનાં તમામ સભ્યોનું ધ્યાન હું મારા તરફ જ ખેંચી શકું. તેઓ કોઈ પણ ખલેલ પાડ્યા વગર મને એકચિત્તે સાંભળે અને કોઈ સવાલો ન પૂછે. જ્યારે ટીવી બંધ હોય ત્યારે પણ લોકો જેમ તેની ખાસ સંભાળ રાખે છે તેમ મારી પણ સંભાળ રાખે. જ્યારે પપ્પા કામ પરથી ઘેર આવે ત્યારે તેઓ સખત થાકેલા હોવા છતાં, હું ટીવી બની ગયો હોવાથી મને તેમની કંપની મળી રહે. મારી મમ્મી જ્યારે દુઃખી હોય કે ટેન્શનમાં હોય ત્યારે મને અવગણવાને બદલે મને જ જોવા ઝંખે. મારી સાથે રહેવા માટે મારા ભાઈબહેનો લડાલડી કરે. હું એવું અનુભવવા માગું છું કે બધી જ વસ્તુઓ એકબાજુએ મૂકીને કુટુંબનાં સભ્યો મારા માટે સમય ફાળવે. છેલ્લે, મને ટી.વી. બનાવી દો જેથી હું મારા કુટુંબને સુખ, આનંદ આપી શકું અને તેમનું મનોરંજન કરી શકું. હે ભગવાન, હું બીજું કાંઈ નથી માંગતો પણ ઇચ્છું છું કે તમે મને જલ્દીથી ટી.વી. બનાવી દો.’
શિક્ષિકાની આંખોમાંથી ચોધાર આંસુ વહી રહ્યાં હતાં.
તેમના પતિ બોલ્યા : ‘હે ભગવાન ! બિચારું બાળક…કેવા ભયાનક માતા-પિતા છે !’
શિક્ષિકાએ ચોધાર આંસુ સારતાં પોતાનાં પતિની સામે જોયું અને દયામણા અવાજે બોલ્યા, ‘આ નિબંધ આપણા દીકરાએ લખેલો છે…’
‘ચાલો બાળકો, આજે તમે એક નિબંધ લખીને મને આપો. નિબંધનો વિષય છે : જો ભગવાન તમને કાંઈ માંગવાનું કહે તો તેમની પાસે તમે શું માંગશો ?’ બાળકોએ ઉત્સાહમાં આવી નિબંધ લખી આપ્યો. ત્યારબાદ શિક્ષિકા તે નિબંધો ઘરે તપાસવા લઈ ગયા.
સાંજે જ્યારે તેઓ નિબંધો તપાસી રહ્યા હતા, ત્યાં તેમના પતિ રૂમમાં આવ્યાં. તેમણે જોયું તો તેમનાં પત્ની રડી રહ્યાં હતાં. તેમણે પૂછ્યું : ‘કેમ શું થયું ? કેમ રડો છો ?’
શિક્ષિકાબેને કહ્યું, ‘હું મારા વિદ્યાર્થીઓનાં નિબંધો તપાસું છું.’ તેમના પતિને એક કાગળ આપતાં તેમણે ઉમેર્યું, ‘આ જુઓ, તમે પણ આ નિબંધ વાંચી જુઓ….’
તેમના પતિએ નિબંધ વાંચવાનું શરૂ કર્યું. તેમાં બાળકે લખ્યું હતું કે :
‘હે ઈશ્વર, જો તારે મને કાંઈ આપવું જ હોય તો તું મને ટી.વી. બનાવી દે. હું તેનું સ્થાન ગ્રહણ કરવા માગું છું. હું ટી.વીની જેમ ઘરમાં રહેવા માંગું છું કે જેને માટે ઘરમાં ખાસ જગ્યા હોય. મારી આસપાસ મારાં કુટુંબનાં તમામ સભ્યો હોય. સાચ્ચે જ હું ગંભીર રીતે આ કહું છું જેથી મારા કુટુંબનાં તમામ સભ્યોનું ધ્યાન હું મારા તરફ જ ખેંચી શકું. તેઓ કોઈ પણ ખલેલ પાડ્યા વગર મને એકચિત્તે સાંભળે અને કોઈ સવાલો ન પૂછે. જ્યારે ટીવી બંધ હોય ત્યારે પણ લોકો જેમ તેની ખાસ સંભાળ રાખે છે તેમ મારી પણ સંભાળ રાખે. જ્યારે પપ્પા કામ પરથી ઘેર આવે ત્યારે તેઓ સખત થાકેલા હોવા છતાં, હું ટીવી બની ગયો હોવાથી મને તેમની કંપની મળી રહે. મારી મમ્મી જ્યારે દુઃખી હોય કે ટેન્શનમાં હોય ત્યારે મને અવગણવાને બદલે મને જ જોવા ઝંખે. મારી સાથે રહેવા માટે મારા ભાઈબહેનો લડાલડી કરે. હું એવું અનુભવવા માગું છું કે બધી જ વસ્તુઓ એકબાજુએ મૂકીને કુટુંબનાં સભ્યો મારા માટે સમય ફાળવે. છેલ્લે, મને ટી.વી. બનાવી દો જેથી હું મારા કુટુંબને સુખ, આનંદ આપી શકું અને તેમનું મનોરંજન કરી શકું. હે ભગવાન, હું બીજું કાંઈ નથી માંગતો પણ ઇચ્છું છું કે તમે મને જલ્દીથી ટી.વી. બનાવી દો.’
શિક્ષિકાની આંખોમાંથી ચોધાર આંસુ વહી રહ્યાં હતાં.
તેમના પતિ બોલ્યા : ‘હે ભગવાન ! બિચારું બાળક…કેવા ભયાનક માતા-પિતા છે !’
શિક્ષિકાએ ચોધાર આંસુ સારતાં પોતાનાં પતિની સામે જોયું અને દયામણા અવાજે બોલ્યા, ‘આ નિબંધ આપણા દીકરાએ લખેલો છે…’
Wednesday, October 13, 2010
બેંક કેશીયરનો ગોટાળો
ગયા અંકમાં બે સવાલો પુછેલાં:
૧) એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના ખુલ્લા કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં હશે?
૨) એક મૂંઝાયેલા બેંક કેશિયરે મી. પટેલના ચેક ચુકવતી વખતે ગડબડ કરી દીધી. જેટલાં રૂપિયા આપવાના હતાં એટલાં પૈસા આપી દીધાં અને પૈસા આપવાના હતાં એટલાં રૂપિયા આપી દીધાં. મી.પટેલે બહાર નીકળીને 50 પૈસાની ચોકલેટ ખરીદી. હવે મી. પટેલ પાસે ચેક પર લખેલી રકમ કરતાં ત્રણ ઘણી રકમ હાથ પર હતી. તમે શોધી શકો કે એ ચેક પર લખેલી રકમ કેટલી હશે ?
ઘણા વાંચકોએ બીજા સવાલના ખરાં જવાબો આપ્યા. પણ પહેલા સવાલને થોડો સુધારવાની જરૂર છે અને પછી વાંચકો જરૂરથી એ પણ ઉકેલશે. જે આજે અંતમાં ફરીથી મુકેલ છે.
સત્તર વાંચકોએ સાચો જવાબ આપ્યો (બધા ખરાં જવાબ મોકલનાર વાંચકોના નામ વેબસાઈટ www .alpeshbhalala .com પર જોઈ શકાશે. ) પણ માત્ર દિપાલીબહેન શાહે સવાલ ઉકેલવાનો ખરો પ્રયત્ન પણ કર્યો . મોટા ભાગના વાંચકોએ ફક્ત જવાબ જ લખ્યો અથવા તો જવાબ ધરી લઈને પછી ઉંધી (રીવર્સ એન્જિનિરીંગ !!) ગણતરી કરી એમનો જવાબ સાચો છે એવો તાળો મેળવ્યો. પણ જવાબ ક્યાંથી આવ્યો અનો કોઈ ઉલ્લેખ કરવનું ટાળ્યું.
આ રહ્યો ખરો જવાબ, હવે પછી પૂરો જવાબ કેવી રીતે મળ્યો એ પણ જરૂરથી લખશો !
ધારો કે ચેક પર લખેલ રકમ હતી x રૂપિયા અને y પૈસા. હવે મી. પટેલને y રૂપિયા અને x પૈસા ચૂકવ્યા. જેમાંથી મી. પટેલે ૫૦ પૈસાની ચોકલેટ ખરીદી. માટે તેની પાસે રહ્યા y રૂપિયા અને (x -૫૦) પૈસા. જે મૂળ રકમ કરતા ત્રણ ઘણી હતી.
માટે, ( y રૂપિયા અને (x -૫૦) પૈસા ) = ૩*(x રૂપિયા અને y પૈસા ). અહીં કેશિયરની ભેળસેળ પરથી સ્પષ્ટ છે કે x અને y ૧૦૦થી નાના છે.
મહત્વની કડી આ સવાલ ઉકેલવા માટેની : ઉપર તારવેલા સમીકરણ પરથી, 3y - (x -૫૦) એ ૧૦૦ના ગુણાંકમાં હશે અથવા શૂન્ય હશે.
૦<= x < ૧૦૦અને ૦<= y <૧૦૦
-૫૦ <= (x -૫૦)<૫૦ અને ૦<= 3y < ૩૦૦
તેથી, -૫૦ <= 3y -(x -૫૦)< ૩૫૦
-૫૦ થી ૩૫૦ની વચ્ચે ૧૦૦ના ગુણાંકમાં હોય એવીચાર શક્ય કિમંતો છે. ૦, ૧૦૦, ૨૦૦ અને ૩૦૦.
જો 3y − (x − ૫૦ ) = 0 કે 3y − (x − ૫૦ ) = ૧૦૦ કે 3y − (x − ૫૦ ) = ૩૦૦ લેતાં x અને y ની કિમંતો અપૂર્ણાંક મળે છે જેને અવગણતા, 3y − (x − ૫૦ ) = ૨૦૦ => x = ૧૮ અને y = ૫૬
આમ મૂળ ચેક પર લખેલ રકમ ૧૮ રૂપિયા અને૫૬ પૈસા હોવી જોઈએ.
પ્રજેશ પટેલ - ગાંધીનગર
મૈત્રય ભટ્ટ - નડિયાદ
સંકેત જોશી
કલ્પેશ દીનાબંધુભાઈ અખાણી - રાધનપુર
રવિ નટવરલાલ પટેલ - ભરૂચ
હર્ષ કોન્ટ્રાકટર
હેમંત પંડ્યા
કામિની જયેશ પટેલ - કડી
વૈભવ શાહ - ભરૂચ
અલ્પેશ પટેલ
કાન્તિલાલ જોયોસ - આણંદ
પ્રીતેશ શાહ
રીતેશ ઝા
વિવેક કંટારીયા
૧) એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના ખુલ્લા કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં હશે?
૨) એક મૂંઝાયેલા બેંક કેશિયરે મી. પટેલના ચેક ચુકવતી વખતે ગડબડ કરી દીધી. જેટલાં રૂપિયા આપવાના હતાં એટલાં પૈસા આપી દીધાં અને પૈસા આપવાના હતાં એટલાં રૂપિયા આપી દીધાં. મી.પટેલે બહાર નીકળીને 50 પૈસાની ચોકલેટ ખરીદી. હવે મી. પટેલ પાસે ચેક પર લખેલી રકમ કરતાં ત્રણ ઘણી રકમ હાથ પર હતી. તમે શોધી શકો કે એ ચેક પર લખેલી રકમ કેટલી હશે ?
ઘણા વાંચકોએ બીજા સવાલના ખરાં જવાબો આપ્યા. પણ પહેલા સવાલને થોડો સુધારવાની જરૂર છે અને પછી વાંચકો જરૂરથી એ પણ ઉકેલશે. જે આજે અંતમાં ફરીથી મુકેલ છે.
સત્તર વાંચકોએ સાચો જવાબ આપ્યો (બધા ખરાં જવાબ મોકલનાર વાંચકોના નામ વેબસાઈટ www .alpeshbhalala .com પર જોઈ શકાશે. ) પણ માત્ર દિપાલીબહેન શાહે સવાલ ઉકેલવાનો ખરો પ્રયત્ન પણ કર્યો . મોટા ભાગના વાંચકોએ ફક્ત જવાબ જ લખ્યો અથવા તો જવાબ ધરી લઈને પછી ઉંધી (રીવર્સ એન્જિનિરીંગ !!) ગણતરી કરી એમનો જવાબ સાચો છે એવો તાળો મેળવ્યો. પણ જવાબ ક્યાંથી આવ્યો અનો કોઈ ઉલ્લેખ કરવનું ટાળ્યું.
આ રહ્યો ખરો જવાબ, હવે પછી પૂરો જવાબ કેવી રીતે મળ્યો એ પણ જરૂરથી લખશો !
ધારો કે ચેક પર લખેલ રકમ હતી x રૂપિયા અને y પૈસા. હવે મી. પટેલને y રૂપિયા અને x પૈસા ચૂકવ્યા. જેમાંથી મી. પટેલે ૫૦ પૈસાની ચોકલેટ ખરીદી. માટે તેની પાસે રહ્યા y રૂપિયા અને (x -૫૦) પૈસા. જે મૂળ રકમ કરતા ત્રણ ઘણી હતી.
માટે, ( y રૂપિયા અને (x -૫૦) પૈસા ) = ૩*(x રૂપિયા અને y પૈસા ). અહીં કેશિયરની ભેળસેળ પરથી સ્પષ્ટ છે કે x અને y ૧૦૦થી નાના છે.
મહત્વની કડી આ સવાલ ઉકેલવા માટેની : ઉપર તારવેલા સમીકરણ પરથી, 3y - (x -૫૦) એ ૧૦૦ના ગુણાંકમાં હશે અથવા શૂન્ય હશે.
૦<= x < ૧૦૦અને ૦<= y <૧૦૦
-૫૦ <= (x -૫૦)<૫૦ અને ૦<= 3y < ૩૦૦
તેથી, -૫૦ <= 3y -(x -૫૦)< ૩૫૦
-૫૦ થી ૩૫૦ની વચ્ચે ૧૦૦ના ગુણાંકમાં હોય એવીચાર શક્ય કિમંતો છે. ૦, ૧૦૦, ૨૦૦ અને ૩૦૦.
જો 3y − (x − ૫૦ ) = 0 કે 3y − (x − ૫૦ ) = ૧૦૦ કે 3y − (x − ૫૦ ) = ૩૦૦ લેતાં x અને y ની કિમંતો અપૂર્ણાંક મળે છે જેને અવગણતા, 3y − (x − ૫૦ ) = ૨૦૦ => x = ૧૮ અને y = ૫૬
આમ મૂળ ચેક પર લખેલ રકમ ૧૮ રૂપિયા અને૫૬ પૈસા હોવી જોઈએ.
End Game :
એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં હશે?
નીચેના વાચકોએ ખરા જવાબો મોકલ્યા!
કલ્પેશ વલેરા - ભાવનગરએક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં હશે?
નીચેના વાચકોએ ખરા જવાબો મોકલ્યા!
પ્રજેશ પટેલ - ગાંધીનગર
મૈત્રય ભટ્ટ - નડિયાદ
સંકેત જોશી
કલ્પેશ દીનાબંધુભાઈ અખાણી - રાધનપુર
રવિ નટવરલાલ પટેલ - ભરૂચ
હર્ષ કોન્ટ્રાકટર
હેમંત પંડ્યા
કામિની જયેશ પટેલ - કડી
વૈભવ શાહ - ભરૂચ
અલ્પેશ પટેલ
દિપાલીબહેન શાહ
વિશાલ શાહ સાવરકુંડલાકાન્તિલાલ જોયોસ - આણંદ
પ્રીતેશ શાહ
રીતેશ ઝા
વિવેક કંટારીયા
Wednesday, September 15, 2010
...તો કેટલાં ખાનાં ખુલ્લાં હશે ?
ગયા અંકમાં સવાલ પુછેલ કે, એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા કરે, ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, .. ખાના બંધ કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે કેટલા ખાનાં ખુલ્લાં હશે?
ચાલો ઉકેલીએ. બધા એકી નંબરના વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલે છે. અને બધા બેકી નંબરના વિદ્યાર્થીઓ ખાના બંધ કરે છે. માટે એકી નંબરનો વિદ્યાર્થી બેકી નંબરના ખાનાની સ્થિતિ બદલાશે નહિ અને બેકી નંબરનો વિદ્યાર્થી એકી નંબરના ખાના ની સ્થિતિ બદલાશે નહિ. ઉપરાંત, સૌથી છેલ્લે થયેલ ફેરફાર કાયમ રહેશે. જેમ કે ૧૦૦ નંબરનો વિદ્યાર્થી ૧૦૦ નંબરનું ખાનું બંધ કરશે જેમાં પછી ફેરફાર થશે નહિ. એ જ રીતે ૯૯ નંબરનો વિદ્યાર્થી ૯૯ નંબરનું ખાનું ખોલશે જે પછી બદલાશે નહિ (કેમ કે પછી ૯૯ના કોઈ અવયવનો વારો નહિ આવે, ૯૯ના બધાં અવયવો ૯૯થી નાના જ હોય! ) એ જ રીતે ૯૮, ૯૬, ૯૪, ૯૨, ..નંબરના વિદ્યાર્થીઓ એ જ નંબરના ખાના બંધ કરશે અને ૯૭, ૯૫, ૯૩ .. વગેરે વિદ્યાર્થીઓ એ જ નંબરના ખાના ખોલશે. સ્પષ્ટ છે કે બધાં એકી નંબરના ખાના ખુલ્લા રહેશે અને બેકી નંબરના ખાના બંધ રહેશે. આમ જવાબ છે ૫૦ ખાના બંધ હશે અને પચાસ ખાના ખુલ્લાં હશે.
ઘણા મિત્રોએ જવાબ આપ્યા, પણ માત્ર નીચેના મિત્રોએ ખરા જવાબ મોકલ્યા. ખુબ ખુબ અભિનંદન.
૧. વિવેક કંટારીયા, અમદાવાદ
૨. પ્રજેશ પટેલ, ગાંધીનગર
૩. ડો. ત્રિભોવનભાઈ બારેવડીયા, બોટાદ
૪. પ્રશાંત નસીત, રાજકોટ
૫. વિવેક શાહ
૬. જયેન્દ્રભાઈ સગલાની, ગોવા
End Game:
૧) એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના ખુલ્લા કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં હશે?
૨) એક મૂંઝાયેલા બેંક કેશિયરે મી. પટેલના ચેક ચુકવતી વખતે ગડબડ કરી દીધી. જેટલાં રૂપિયા આપવાના હતાં એટલાં પૈસા આપી દીધાં અને પૈસા આપવાના હતાં એટલાં રૂપિયા આપી દીધાં. મી.પટેલે બહાર નીકળીને 50 પૈસાની ચોકલેટ ખરીદી. હવે મી. પટેલ પાસે ચેક પર લખેલી રકમ કરતાં ત્રણ ઘણી રકમ હાથ પર હતી. તમે શોધી શકો કે એ ચેક પર લખેલી રકમ કેટલી હશે ?
તમારા જવાબો www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ સ્વરૂપે મુકો અથવા ઈ-મેઈલ કરો alpesh.bhalala@gmail.com પર.
ચાલો ઉકેલીએ. બધા એકી નંબરના વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલે છે. અને બધા બેકી નંબરના વિદ્યાર્થીઓ ખાના બંધ કરે છે. માટે એકી નંબરનો વિદ્યાર્થી બેકી નંબરના ખાનાની સ્થિતિ બદલાશે નહિ અને બેકી નંબરનો વિદ્યાર્થી એકી નંબરના ખાના ની સ્થિતિ બદલાશે નહિ. ઉપરાંત, સૌથી છેલ્લે થયેલ ફેરફાર કાયમ રહેશે. જેમ કે ૧૦૦ નંબરનો વિદ્યાર્થી ૧૦૦ નંબરનું ખાનું બંધ કરશે જેમાં પછી ફેરફાર થશે નહિ. એ જ રીતે ૯૯ નંબરનો વિદ્યાર્થી ૯૯ નંબરનું ખાનું ખોલશે જે પછી બદલાશે નહિ (કેમ કે પછી ૯૯ના કોઈ અવયવનો વારો નહિ આવે, ૯૯ના બધાં અવયવો ૯૯થી નાના જ હોય! ) એ જ રીતે ૯૮, ૯૬, ૯૪, ૯૨, ..નંબરના વિદ્યાર્થીઓ એ જ નંબરના ખાના બંધ કરશે અને ૯૭, ૯૫, ૯૩ .. વગેરે વિદ્યાર્થીઓ એ જ નંબરના ખાના ખોલશે. સ્પષ્ટ છે કે બધાં એકી નંબરના ખાના ખુલ્લા રહેશે અને બેકી નંબરના ખાના બંધ રહેશે. આમ જવાબ છે ૫૦ ખાના બંધ હશે અને પચાસ ખાના ખુલ્લાં હશે.
ઘણા મિત્રોએ જવાબ આપ્યા, પણ માત્ર નીચેના મિત્રોએ ખરા જવાબ મોકલ્યા. ખુબ ખુબ અભિનંદન.
૧. વિવેક કંટારીયા, અમદાવાદ
૨. પ્રજેશ પટેલ, ગાંધીનગર
૩. ડો. ત્રિભોવનભાઈ બારેવડીયા, બોટાદ
૪. પ્રશાંત નસીત, રાજકોટ
૫. વિવેક શાહ
૬. જયેન્દ્રભાઈ સગલાની, ગોવા
End Game:
૧) એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના ખુલ્લા કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં હશે?
૨) એક મૂંઝાયેલા બેંક કેશિયરે મી. પટેલના ચેક ચુકવતી વખતે ગડબડ કરી દીધી. જેટલાં રૂપિયા આપવાના હતાં એટલાં પૈસા આપી દીધાં અને પૈસા આપવાના હતાં એટલાં રૂપિયા આપી દીધાં. મી.પટેલે બહાર નીકળીને 50 પૈસાની ચોકલેટ ખરીદી. હવે મી. પટેલ પાસે ચેક પર લખેલી રકમ કરતાં ત્રણ ઘણી રકમ હાથ પર હતી. તમે શોધી શકો કે એ ચેક પર લખેલી રકમ કેટલી હશે ?
તમારા જવાબો www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ સ્વરૂપે મુકો અથવા ઈ-મેઈલ કરો alpesh.bhalala@gmail.com પર.
Thursday, September 9, 2010
Google Instant Search
Yesterday Google said and released search as you type. Most of you must have experienced it by now! Google blog for it is here Though it has fantastic speed to search at the speed of type, but my few points to put on table:
1. Do they need Search button now?!!
2. If search starts after a configurable number of characters wouldn't it be better?! Initial few characters, mostly, would not match with your search keyword. e.g. after 4 characters only instant search starts and you can set your number 4 in settings. Searching for first character I type has rare probability that it would give me correct search, than why to overkill?!
1. Do they need Search button now?!!
2. If search starts after a configurable number of characters wouldn't it be better?! Initial few characters, mostly, would not match with your search keyword. e.g. after 4 characters only instant search starts and you can set your number 4 in settings. Searching for first character I type has rare probability that it would give me correct search, than why to overkill?!
Friday, September 3, 2010
Gmail Priority Inbox
Gmail came with a real good feature of Priority Inbox. Which filters out most of marketing emails to Not Important virtual folder. Read more here and watch video here.
Wednesday, September 1, 2010
...તો કેટલાં ખાનાં ખુલ્લાં હશે ??
ગયા અંકમાં પૂછેલું કે nxn ખાનાવાળા ચોરસમાં કુલ કેટલાં લંબચોરસ હોય? ઘણા બધા વાંચકોએ આ જવાબ આગલાં અંકમાં પુછેલ પઝલમાં જ જવાબ આપી દીધેલ તો બીજા ઘણા વાંચકોએ આ વખતે જવાબ મોકલ્યા. ચાલો જોઈ લઈએ કેટલાં લંબચોરસ nxn ખાનાવાળા ચોરસમાં હોય.
ગયા વખતે આપણે ચેસ બોર્ડ માટે જવાબ શોધતી વખતે સૂત્ર મેળવેલ કે ચેસ બોર્ડમાં રહેલા કુલ લંબચોરસની સંખ્યા = (Sigma8 )^2
ચાલો ધારી લઈએ કે n *n ખાનાવાળા ચોરસમાં કુલ (Sigma n ) ^2 લંબચોરસ હોય. હવે સાબિત કરવાનું રહે કે n +1 ખાનાવાળા ચોરસમાં (સિગ્મા (n + 1 ) ) ^2 લંબચોરસ છે. જે ગયા અંકમાં ગણિતીય અનુમાનના સિદ્ધાંતથી તારવી શકાય.
હવે જીગર પટેલે ચેસબોર્ડમાં રહેલાં લંબચોરસ શોધવા માટે લખી મોકલેલ જવાબ જોઈએ,
હવે 1 ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ માટે,
હવે આપાણી પાસે બે જુદા જુદા સુત્રો છે અને બંને ખરા પણ છે! આમ એક સરસ સંબંધ આ મુજબ લખી શકીએ, જે આપણે જાણીએ જ છીએ.
Sigma N^3 = (Sigma N)^2
END GAME
એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા કરે, ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, .. ખાના બંધ કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે કેટલા ખાનાં ખુલ્લાં હશે?
આપના જવાબો alpesh .bhalala @gmail .com પર મોકલો અથવા www .alpeshbhalala .com પર કોમેન્ટ મુકો.
ગયા વખતે આપણે ચેસ બોર્ડ માટે જવાબ શોધતી વખતે સૂત્ર મેળવેલ કે ચેસ બોર્ડમાં રહેલા કુલ લંબચોરસની સંખ્યા = (Sigma8 )^2
ચાલો ધારી લઈએ કે n *n ખાનાવાળા ચોરસમાં કુલ (Sigma n ) ^2 લંબચોરસ હોય. હવે સાબિત કરવાનું રહે કે n +1 ખાનાવાળા ચોરસમાં (સિગ્મા (n + 1 ) ) ^2 લંબચોરસ છે. જે ગયા અંકમાં ગણિતીય અનુમાનના સિદ્ધાંતથી તારવી શકાય.
હવે જીગર પટેલે ચેસબોર્ડમાં રહેલાં લંબચોરસ શોધવા માટે લખી મોકલેલ જવાબ જોઈએ,
હવે 1 ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ માટે,
1*1 - 8*8= 64
1*2 & 2*1 - (7*8) +(7*8)= 112
1*3 & 3*1 - (6*8) +(6*8)= 96
1*4 & 4*1 - (5*8) +(5*8)= 80
1*5 & 5*1 - (4*8) +(4*8)= 64
1*6 & 6*1 - (3*8) +(3*8)= 48
1*7 & 7*1 - (2*8) +(2*8)= 32
1*8 & 8*1 - (1*8) + (1*8)= 16
હવે ૨ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ માટે,
2*2 - 7*7= 49
2*3 & 3*2 - (6*7) +(6*7)= 84
2*4 & 4*2 - (5*7) +(5*7)= 70
2*5 & 5*2 - (4*7) +(4*7)= 56
2*6 & 6*2 - (3*7) +(3*7)= 42
2*7 & 7*2 - (2*7) +(2*7)= 28
2*8 & 8*2 - (1*7) +(1*7)= 14
હવે ૩ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ માટે,
3*3
…
..
3*8 & 8*3 - (1*6) + (1*6)
4*4 TO (4*8 & 8*4) = 125 =5^3
5*5 TO (5*8 & 8*5) = 64 =4^3
6*6 TO (6*8 & 8*5) = 27 =3^3
7*7 TO (7*8 & 8*5) = 8 =2^3
For 8*8
ટોટલ = 512+343+216+125+64+27+8+1
સૂત્ર
હવે આપાણી પાસે બે જુદા જુદા સુત્રો છે અને બંને ખરા પણ છે! આમ એક સરસ સંબંધ આ મુજબ લખી શકીએ, જે આપણે જાણીએ જ છીએ.
Sigma N^3 = (Sigma N)^2
END GAME
એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા કરે, ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, .. ખાના બંધ કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે કેટલા ખાનાં ખુલ્લાં હશે?
આપના જવાબો alpesh .bhalala @gmail .com પર મોકલો અથવા www .alpeshbhalala .com પર કોમેન્ટ મુકો.
Wednesday, August 4, 2010
Puzzle your mind!
આપણે ગયા અંકમાં ચેસ બોર્ડમાં રહેલાં કુલ ચોરસ જુદા માપ ધરાવતાં ચોરસ ગણ્યા હતાં દા.ત. ૧x૧, ૨x૨ વગેરે માપના કેટલા ચોરસ છે અને બધાને ઉમેરતાં આપણે ૨૦૪ ચોરસ મેળવ્યા હતાં. આ રીતે કોઈ પણ માપના ( દા. ત. ૧૦x૧૦ ખાનાવાળા ) બોર્ડમાં કેટલા ચોરસ છે એ શોધવાની કી શોધી. પછી એ ફોર્મ્યુલાનું ( nxn માપના બોર્ડ માટે કુલ n*(n +1 )(2n+1)/6 ચોરસ મળે ) માપના વિસ્તરણ કરીને કોઈ પણ માપના ખાનાવાળા બોર્ડ માટે બનાવી. પણ એ સાબિત કરવાનું વાંચકો પર છોડ્યું હતું.
આ પ્રકારના પ્રશ્નો ઉકેલવાની શ્રેષ્ઠ પદ્ધતિ છે ગણિતીય નિગમન( Mathematical Induction ). જે મુજબ આપણે વિધાનને n = ૧ માટે સાબિત કરીશું. બીજા સ્ટેપમાં, ધારો કે n માટે વિધાન ખરું છે તો n +1 પણ ખરું એ વિધાન ખરું હોય.
n = ૧ લેતાં, ૧x૧ માપના બોર્ડમાં રહેલાં કુલ ચોરસ આપની ફોર્મ્યુલા મુજબ ૧*(૧+૧)*(૨+૧)/૬ = ૧ મળે જે ૧x૧ના ચોરસ માટે દેખીતી રીતે જ ખરું છે.
હવે ધારો કે n માટે આ વિધાન સાચી છે મતલબ nxn માપના ચોરસ બોર્ડમાં કુલ n*(n +1 )(2n+1)/૬ ચોરસ હોય. તો હવે સાબિત કરવાનું રહે કે n +૧ માટે પણ આ વિધાન સાચું છે.
(n +૧)x (n +૧) ચોરસ ધરાવતાં બોર્ડમાં કુલ ચોરસની સંખ્યા nxn માપના ચોરસમાં રહેલાં ચોરસની સંખ્યામાં, બોર્ડમાં એક હાંર અને એક કોલમ ઉમેરતાં વધતાં ચોરસના ઉમેરણ જેટલા થાય. ( દા.ત. 3x3 માપના બોર્ડમાં કુલ ૧૪ ચોરસ છે જો બોર્ડમાં ૧ હાંર અને એક કોલમ ઉમેરીએ તો જે તે હાંર કે કોલમથી બનતા ચોર્સનું ઉમેરણ કરવાથી 4x4 ના માપના બોર્ડના કુલ ચોરસ મળે. જે આપણાં ઉદાહરણમાં ૪ ના વર્ગ બરાબર એટલે કે ૧૬ જેટલા વધે. મતલબ કુલ ચોરસ ૧૪+૧૬ = ૩૦ થાય.)
(n +૧)x (n +૧) ચોરસ ધરાવતાં બોર્ડમાં કુલ ચોરસની સંખ્યા = nxn માપના ચોરસમાં રહેલાં ચોરસની સંખ્યા + (n +૧)^2
= n (n +૧)(2n +૧)/૬ +(n +૧)^2
= (n +૧) [ n /6 (2n +૧) + (n +૧)]
= (n +૧) /૬ [ 2n ^૨ + ૭ન + ૬ ]
= (n +૧) (n + ૨) ( 2n + ૩ )/6
= Sigma (n +૧)^2
આમ, આપણી પૂર્વધારણા સાચી છે.
હવે ગયા અંકની End Game નો જવાબ!
ગયા અઠવાડિયાના અંકમાં અંતે પૂછેલા સવાલના પણ ઘણાં ખરા સાચા જવાબો મળ્યાં. આદીલ મક્સ્તીએ સૌ પ્રથમ સાચો જવાબ આપ્યો. મોટા ભાગના વાંચકોએ લોજીક અથવા પદ્ધતિ લખવાનું ટાળ્યું. ચેસ બોર્ડમાં કુલ કેટલાં લંબચોરસ હોય, એ ગયા અઠવાડિયાની End Game નો સવાલ હતો અને સાચો જવાબ છે ૧૨૯૬!
કેવી રીતે? આ વધુ અગત્યનો સવાલ છે. કેમ કે અહીં આપણી મથામણ લોજીક શોધવાની કે વિકસાવવાની વધુ છે. માત્ર સાચો જવાબ મેળવવાનું એટલું અગત્યનું નથી. મેથડ સાચી હોય તો જવાબ આપમેળે મળશે. અને દરેક સવાલ ઉકેલવાના ઘણા રસ્તા હોય શકે છે. અહી આપેલ રસ્તો જ માત્ર ખરો ઉકેલ છે એવું કઈ જરૂરી નથી. ચાલો ફરીથી મૂળ વાત પર આવીએ.
નીચે મુજબ અલગ અલગ માપના લંબચોરસ શોધી શકાય.
માપ લંબચોરસ
૧x૧ ૮*૮=64
૧x૨ ૮*૭=૫૬ (દરેક હારમાં સાત ૧x૨ લંબચોરસ, અને એવી ૮ હાર)
૧*૩ ૮*૬=48
......
૧*૮ ૮*૧=8
મતલબ ૧ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ = ૮*(૧+૨+૩+૪+૫+૬+૭+૮) =૮*sigma8
આ જ રીતે, ૨ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ = ૭*(૧+૨+૩+૪+૫+૬+૭+૮) =7*sigma8
3 ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ = 6*(૧+૨+૩+૪+૫+૬+૭+૮) =6*sigma8
....
કુલ સરવાળો કરતાં, ૮*Sigma8 + ૭*Sigma8 + ...+૧*Sigma8
= Sigma8 *(૮+૭+૬+૫+૪+૩+૨+૧)
= Sigma8 *Sigma8
=૮*૯ /૨ * ૮*૯ /૨
= ૩૬ * ૩૬
= ૧૨૯૬
End Game
વાચક બિરાદરો, આ પ્રશ્નનો વિસ્તાર કરીએ તો કેવું ? nxn માપના બોર્ડમાં કેટલાં લંબચોરસ હોય ? એના પરથી ખુબ રસપ્રદ સંબધ બે અલગ અલગ ફોર્મ્યુલા વચ્ચે સ્થાપિત પણ કરી શકીશું. હા થોડી મગજમારી તો કરવી પડશે. તો જવાબ મોકલવા તૈયાર? www .alpeshbhalala .com પર કોમેન્ટ લખો અથવા તો alpesh.bhalala@gmail.com પર ઈ-મેઈલ કરો.
આ પ્રકારના પ્રશ્નો ઉકેલવાની શ્રેષ્ઠ પદ્ધતિ છે ગણિતીય નિગમન( Mathematical Induction ). જે મુજબ આપણે વિધાનને n = ૧ માટે સાબિત કરીશું. બીજા સ્ટેપમાં, ધારો કે n માટે વિધાન ખરું છે તો n +1 પણ ખરું એ વિધાન ખરું હોય.
n = ૧ લેતાં, ૧x૧ માપના બોર્ડમાં રહેલાં કુલ ચોરસ આપની ફોર્મ્યુલા મુજબ ૧*(૧+૧)*(૨+૧)/૬ = ૧ મળે જે ૧x૧ના ચોરસ માટે દેખીતી રીતે જ ખરું છે.
હવે ધારો કે n માટે આ વિધાન સાચી છે મતલબ nxn માપના ચોરસ બોર્ડમાં કુલ n*(n +1 )(2n+1)/૬ ચોરસ હોય. તો હવે સાબિત કરવાનું રહે કે n +૧ માટે પણ આ વિધાન સાચું છે.
(n +૧)x (n +૧) ચોરસ ધરાવતાં બોર્ડમાં કુલ ચોરસની સંખ્યા nxn માપના ચોરસમાં રહેલાં ચોરસની સંખ્યામાં, બોર્ડમાં એક હાંર અને એક કોલમ ઉમેરતાં વધતાં ચોરસના ઉમેરણ જેટલા થાય. ( દા.ત. 3x3 માપના બોર્ડમાં કુલ ૧૪ ચોરસ છે જો બોર્ડમાં ૧ હાંર અને એક કોલમ ઉમેરીએ તો જે તે હાંર કે કોલમથી બનતા ચોર્સનું ઉમેરણ કરવાથી 4x4 ના માપના બોર્ડના કુલ ચોરસ મળે. જે આપણાં ઉદાહરણમાં ૪ ના વર્ગ બરાબર એટલે કે ૧૬ જેટલા વધે. મતલબ કુલ ચોરસ ૧૪+૧૬ = ૩૦ થાય.)
(n +૧)x (n +૧) ચોરસ ધરાવતાં બોર્ડમાં કુલ ચોરસની સંખ્યા = nxn માપના ચોરસમાં રહેલાં ચોરસની સંખ્યા + (n +૧)^2
= n (n +૧)(2n +૧)/૬ +(n +૧)^2
= (n +૧) [ n /6 (2n +૧) + (n +૧)]
= (n +૧) /૬ [ 2n ^૨ + ૭ન + ૬ ]
= (n +૧) (n + ૨) ( 2n + ૩ )/6
= Sigma (n +૧)^2
આમ, આપણી પૂર્વધારણા સાચી છે.
હવે ગયા અંકની End Game નો જવાબ!
ગયા અઠવાડિયાના અંકમાં અંતે પૂછેલા સવાલના પણ ઘણાં ખરા સાચા જવાબો મળ્યાં. આદીલ મક્સ્તીએ સૌ પ્રથમ સાચો જવાબ આપ્યો. મોટા ભાગના વાંચકોએ લોજીક અથવા પદ્ધતિ લખવાનું ટાળ્યું. ચેસ બોર્ડમાં કુલ કેટલાં લંબચોરસ હોય, એ ગયા અઠવાડિયાની End Game નો સવાલ હતો અને સાચો જવાબ છે ૧૨૯૬!
કેવી રીતે? આ વધુ અગત્યનો સવાલ છે. કેમ કે અહીં આપણી મથામણ લોજીક શોધવાની કે વિકસાવવાની વધુ છે. માત્ર સાચો જવાબ મેળવવાનું એટલું અગત્યનું નથી. મેથડ સાચી હોય તો જવાબ આપમેળે મળશે. અને દરેક સવાલ ઉકેલવાના ઘણા રસ્તા હોય શકે છે. અહી આપેલ રસ્તો જ માત્ર ખરો ઉકેલ છે એવું કઈ જરૂરી નથી. ચાલો ફરીથી મૂળ વાત પર આવીએ.
નીચે મુજબ અલગ અલગ માપના લંબચોરસ શોધી શકાય.
માપ લંબચોરસ
૧x૧ ૮*૮=64
૧x૨ ૮*૭=૫૬ (દરેક હારમાં સાત ૧x૨ લંબચોરસ, અને એવી ૮ હાર)
૧*૩ ૮*૬=48
......
૧*૮ ૮*૧=8
મતલબ ૧ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ = ૮*(૧+૨+૩+૪+૫+૬+૭+૮) =૮*sigma8
આ જ રીતે, ૨ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ = ૭*(૧+૨+૩+૪+૫+૬+૭+૮) =7*sigma8
3 ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ = 6*(૧+૨+૩+૪+૫+૬+૭+૮) =6*sigma8
....
કુલ સરવાળો કરતાં, ૮*Sigma8 + ૭*Sigma8 + ...+૧*Sigma8
= Sigma8 *(૮+૭+૬+૫+૪+૩+૨+૧)
= Sigma8 *Sigma8
=૮*૯ /૨ * ૮*૯ /૨
= ૩૬ * ૩૬
= ૧૨૯૬
End Game
વાચક બિરાદરો, આ પ્રશ્નનો વિસ્તાર કરીએ તો કેવું ? nxn માપના બોર્ડમાં કેટલાં લંબચોરસ હોય ? એના પરથી ખુબ રસપ્રદ સંબધ બે અલગ અલગ ફોર્મ્યુલા વચ્ચે સ્થાપિત પણ કરી શકીશું. હા થોડી મગજમારી તો કરવી પડશે. તો જવાબ મોકલવા તૈયાર? www .alpeshbhalala .com પર કોમેન્ટ લખો અથવા તો alpesh.bhalala@gmail.com પર ઈ-મેઈલ કરો.
Subscribe to:
Posts (Atom)