...તો કેટલાં ખાનાં ખુલ્લાં હશે ??

ગયા અંકમાં પૂછેલું કે nxn ખાનાવાળા ચોરસમાં કુલ કેટલાં લંબચોરસ હોય? ઘણા બધા વાંચકોએ  આ જવાબ આગલાં અંકમાં પુછેલ પઝલમાં જ જવાબ આપી દીધેલ તો બીજા ઘણા વાંચકોએ આ વખતે જવાબ મોકલ્યા. ચાલો જોઈ લઈએ કેટલાં લંબચોરસ nxn ખાનાવાળા ચોરસમાં હોય.
ગયા વખતે આપણે ચેસ બોર્ડ માટે જવાબ શોધતી વખતે સૂત્ર મેળવેલ કે ચેસ બોર્ડમાં રહેલા કુલ લંબચોરસની સંખ્યા = (Sigma8 )^2
ચાલો ધારી લઈએ કે n *n   ખાનાવાળા ચોરસમાં કુલ (Sigma n ) ^2  લંબચોરસ હોય. હવે સાબિત કરવાનું રહે કે n +1 ખાનાવાળા ચોરસમાં (સિગ્મા (n + 1 ) ) ^2  લંબચોરસ છે.     જે ગયા અંકમાં ગણિતીય અનુમાનના સિદ્ધાંતથી તારવી શકાય.
હવે જીગર પટેલે ચેસબોર્ડમાં  રહેલાં લંબચોરસ શોધવા માટે લખી મોકલેલ જવાબ જોઈએ,
હવે 1 ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ માટે,

1*1                         -              8*8=                     64

1*2 & 2*1            -              (7*8) +(7*8)=    112

1*3 & 3*1            -              (6*8) +(6*8)=    96

1*4 & 4*1            -              (5*8) +(5*8)=    80

1*5 & 5*1            -              (4*8) +(4*8)=    64

1*6 & 6*1            -              (3*8) +(3*8)=    48

1*7 & 7*1            -              (2*8) +(2*8)=    32

1*8 & 8*1            -              (1*8) + (1*8)=   16

                                                                =  512                      =8 ^3

હવે ૨ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ માટે,

2*2                         -              7*7=                     49

2*3 & 3*2            -              (6*7) +(6*7)=    84

2*4 & 4*2            -              (5*7) +(5*7)=    70

2*5 & 5*2            -              (4*7) +(4*7)=    56

2*6 & 6*2            -              (3*7) +(3*7)=    42

2*7 & 7*2            -              (2*7) +(2*7)=    28

2*8 & 8*2            -              (1*7) +(1*7)=    14

                                                                =  343                      = 7 ^3

હવે ૩ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ માટે,

3*3

…

..

3*8 & 8*3            -              (1*6) + (1*6)

                                                                = 216                       = 6^3

4*4  TO (4*8 & 8*4)                = 125                       =5^3

5*5 TO (5*8 & 8*5)                 = 64                          =4^3

6*6 TO (6*8 & 8*5)                 = 27                          =3^3

7*7 TO (7*8 & 8*5)                 = 8                            =2^3

For 8*8                                        = 1                            =1^3

ટોટલ = 512+343+216+125+64+27+8+1               =             1296

સૂત્ર                                                                                    ^{=Sigma N ^3}

હવે આપાણી પાસે બે જુદા જુદા સુત્રો છે અને બંને ખરા પણ છે! આમ એક સરસ સંબંધ આ મુજબ લખી શકીએ, જે આપણે જાણીએ જ છીએ.
Sigma N^{^}3 = (Sigma N)^2 


END GAME

એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા કરે, ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, .. ખાના બંધ કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં  ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે કેટલા ખાનાં ખુલ્લાં  હશે?
આપના જવાબો alpesh .bhalala @gmail .com પર મોકલો અથવા www .alpeshbhalala .com પર કોમેન્ટ મુકો.