બેંક કેશીયરનો ગોટાળો

ગયા અંકમાં બે સવાલો પુછેલાં:


૧) એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના ખુલ્લા કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં  ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં  હશે?

૨) એક મૂંઝાયેલા બેંક કેશિયરે મી. પટેલના ચેક ચુકવતી વખતે ગડબડ કરી દીધી. જેટલાં રૂપિયા આપવાના હતાં એટલાં પૈસા આપી દીધાં અને  પૈસા આપવાના હતાં એટલાં રૂપિયા આપી દીધાં. મી.પટેલે બહાર નીકળીને 50 પૈસાની ચોકલેટ ખરીદી. હવે મી. પટેલ પાસે ચેક પર લખેલી રકમ કરતાં ત્રણ ઘણી રકમ હાથ પર હતી. તમે શોધી શકો કે એ ચેક પર લખેલી રકમ કેટલી હશે ?

ઘણા વાંચકોએ બીજા સવાલના ખરાં જવાબો આપ્યા. પણ પહેલા સવાલને થોડો સુધારવાની જરૂર છે અને પછી વાંચકો જરૂરથી એ પણ ઉકેલશે.  જે આજે અંતમાં ફરીથી મુકેલ છે.


સત્તર વાંચકોએ સાચો જવાબ આપ્યો (બધા ખરાં જવાબ મોકલનાર વાંચકોના નામ વેબસાઈટ www .alpeshbhalala .com પર જોઈ શકાશે. ) પણ માત્ર દિપાલીબહેન શાહે સવાલ ઉકેલવાનો ખરો પ્રયત્ન પણ કર્યો . મોટા ભાગના વાંચકોએ ફક્ત જવાબ જ લખ્યો અથવા તો જવાબ ધરી લઈને પછી ઉંધી (રીવર્સ એન્જિનિરીંગ !!) ગણતરી કરી એમનો જવાબ સાચો છે એવો તાળો મેળવ્યો.  પણ જવાબ ક્યાંથી આવ્યો અનો કોઈ ઉલ્લેખ કરવનું ટાળ્યું.   


આ રહ્યો ખરો જવાબ, હવે પછી પૂરો જવાબ કેવી રીતે મળ્યો એ પણ જરૂરથી લખશો !

ધારો કે ચેક પર લખેલ રકમ હતી x રૂપિયા અને y  પૈસા. હવે મી. પટેલને  y  રૂપિયા અને x પૈસા ચૂકવ્યા. જેમાંથી મી. પટેલે ૫૦ પૈસાની ચોકલેટ ખરીદી.  માટે તેની પાસે રહ્યા y રૂપિયા અને (x -૫૦) પૈસા. જે મૂળ રકમ કરતા ત્રણ ઘણી હતી.


માટે, ( y રૂપિયા અને (x -૫૦) પૈસા ) =  ૩*(x રૂપિયા અને y  પૈસા ). અહીં કેશિયરની ભેળસેળ પરથી સ્પષ્ટ છે કે x અને y ૧૦૦થી  નાના છે.

મહત્વની કડી આ સવાલ ઉકેલવા માટેની : ઉપર તારવેલા સમીકરણ પરથી,  3y - (x -૫૦) એ ૧૦૦ના ગુણાંકમાં હશે અથવા શૂન્ય હશે.


૦<= x < ૧૦૦અને ૦<= y <૧૦૦

-૫૦ <= (x -૫૦)<૫૦   અને ૦<= 3y < ૩૦૦
તેથી, -૫૦ <=  3y -(x -૫૦)< ૩૫૦


-૫૦ થી ૩૫૦ની વચ્ચે ૧૦૦ના ગુણાંકમાં હોય એવીચાર શક્ય કિમંતો છે. ૦, ૧૦૦, ૨૦૦ અને ૩૦૦.


જો 3y − (x − ૫૦ ) = 0 કે 3y − (x − ૫૦ ) = ૧૦૦ કે  3y − (x − ૫૦ ) = ૩૦૦ લેતાં x અને y ની કિમંતો અપૂર્ણાંક મળે છે જેને અવગણતા, 3y − (x − ૫૦ ) = ૨૦૦ => x = ૧૮ અને y = ૫૬


આમ મૂળ ચેક પર લખેલ રકમ ૧૮ રૂપિયા અને૫૬ પૈસા હોવી જોઈએ.

 End Game :

એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં  ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં  હશે?

 
નીચેના વાચકોએ ખરા જવાબો મોકલ્યા!

કલ્પેશ વલેરા - ભાવનગર
પ્રજેશ પટેલ - ગાંધીનગર
મૈત્રય ભટ્ટ - નડિયાદ 
સંકેત જોશી
કલ્પેશ દીનાબંધુભાઈ અખાણી - રાધનપુર
રવિ નટવરલાલ પટેલ - ભરૂચ
હર્ષ કોન્ટ્રાકટર   
હેમંત પંડ્યા
કામિની જયેશ પટેલ  - કડી
વૈભવ શાહ - ભરૂચ

 અલ્પેશ પટેલ

દિપાલીબહેન શાહ 

વિશાલ શાહ સાવરકુંડલા
કાન્તિલાલ જોયોસ - આણંદ
પ્રીતેશ શાહ
રીતેશ ઝા     
વિવેક કંટારીયા