દસ વિધાનો

ગયા અંકનો સવાલ:
એક ભક્ત મહારાજ વહેલી પ્રભાતે ભગવાનના દર્શને હાલ્યા. ઘરે ઉગાડેલ ગુલાબના થોડા ફૂલ સાથે લીધા.ગામની સીમે આવેલી નદીના સામા કાંઠે મંદિર, એના પછી ફરીથી એક નદીને વળી પાછું મંદિર. ને વળી પાછી નદીને પાછી છેલ્લું ને ત્રીજું મંદિર.આમ કુલ ત્રણ નદી અને ત્રણ મંદિર. પહેલા નદી ને છેલ્લે મંદિર. ભક્ત મહારાજે નદીમાં સ્નાન કર્યું. બહાર નીકળીને જોયું તો તેને લીધેલા ફૂલ ડબલ થઇ ગયા હતા. ભગવાનને એમાંથી થોડા ફૂલ ધર્યા, થોડા બીજા મંદિરો માટે રાખ્યા. ફરીથી નદી આવી ને કરીથી ફૂલ ડબલ. ફરીથી ભગવાનને થોડા ફૂલ ધર્યા. ફરીથી નદી આવી ને ફરીથી જાદુ. છેલ્લા મંદિરે પણ ભક્ત મહારાજે ભગવાનને ફૂલ ધર્યા. મહારાજે બધાય ભગવાનનો સરખો રાજીપ મેળવવા સરખા જ ફૂલ ધર્યા હતા. અને છેલ્લે મહારજ પાસે એકેય ફૂલ વધ્યું નહિ. તો હે સુજ્ઞ વાંચકો, આ ભક્ત મહારાજ ઓછામાં ઓછા કેટલાં ફૂલ સાથે ઘેરથી નીકળ્યા હશે અને દરેક મંદિરે કેટલાં ફૂલ ભગવાનને ધર્યા હશે?

આ કોયડામાં ૩ મંદિર અને ૩ નદીઓ હતી. હવે ધારો કે

૧) પાંચ મંદિર અને પાંચ નદીઓ હોય તો તમારો જવાબ શું હશે? પહેલા નદી અને છેલ્લે મંદિર.
૨) N (ધન સંખ્યા) નદીઓ અને N મંદિરો હોય તો તમારો જવાબ શું આવશે ? પહેલા નદી અને છેલ્લે મંદિર.

જવાબ:
ઘણા બધા જવાબો મળ્યા, લગભગ બધા વાંચકોએ સાચા જવાબ પણ આપ્યા. વાંચકો આ પ્રખ્યાત કોયડાના મૂળ સુધી પહોંચ્યા, જે આનંદની વાત છે.
દ્વારકાથી જીગર દવે લખે છે, જો આ કોયડામાં રહેલી પેટર્ન શોધી કાઢીએ તો કામ સરળ થઇ જાય. અને આ માટે તેઓ અલગ અલગ મંદિરની સંખ્યા લઈને સમીકરણ બનાવે છે.
જો n મંદિરની સંખ્યા , x નદીમાં બોળેલા ફૂલોની સંખ્યા અન y મંદિરમાં પધરાવેલા ફૂલોની સંખ્યા હોય તો,
જયારે n =1 ત્યારે 2x-y =0
જયારે n =2 ત્યારે 4x-3y=0
જયારે n =3 ત્યારે 8x-7y=0
અને આ છે એમના નિરીક્ષણો:

1) x નો સહગુણક દરેક વખતે ડબલ થશે એટલે કે ૨ થી ગુણાશે.
2) y નો સહગુણક પણ દરેક વખતે બેવડાશે. પણ એમાંથી y ફૂલ મંદિરે ધરાવતા એ પણ બાદ કરવા રહ્યા.
માટે, સામાન્ય સમીકરણ આ પ્રમાણે બનશે, (2^n)*x - (2^n-1)*y =0
માટે,
x/y = (2^n-1)/2^n
પણ x અને y ની સૌથી નાની કિમતો શોધતા,
x=2^n-1; y =2^n
હવે, ઉપરના સમીકરણ પરથી n =5 માટે x=31 ,  y=32.
અહી આપેલ ઉકેલ ગાણિતિક ઉકેલ નથી, જે મિત્રોને ગાણિતિક ઉકેલમાં રસ હોય એ મિત્રો ગણિતીય અનુમાનના સિદ્ધાંતથી સરળતાથી શોધી શકાશે. કેટલાક મહત્વના સ્ટેપ નીચે આપ્યા છે.

p (1 ) : (2^n)*x - (2^n-1)*y =૦ માં n=1 લેતા 2x -y = ૦
ધારો કે p (k ) : k નદી અને મંદિર વટાવ્યા પછી રહેલા ફૂલ (2^k)*x - (2^k-1)*y. સાબિત કરવાનું કે (k +1 ) નદી અને મંદિર વટાવ્યા પછી રહેલા ફૂલની સંખ્યા x =  (2^k)*y/(2^k +1 )
નદી ઓળંગતા ફૂલ બેવડાઈ છે માટે, ફૂલ 2 ((2^k)*x - (2^k-1)*y ) અને એમાંથી y ફૂલ મંદિરે ચડાવતા, 2 ((2^k)*x - (2^k-1)*y ) -y=  (2^(k +1 ))*x - (2^k)*y .

End Game

વિષય: તર્ક
ગહનતા: ૪/૫
નીચેના દસ વાક્યોના અંતે આપેલ સવાલનો જવાબ આપો !
૧. વાક્ય નંબર ૯ અથવા ૧૦ માંથી ઓછામાં ઓછુ એક વાક્ય ખરું(સાચું) છે.
2. આ વાક્ય પહેલું ખરું અથવા પહેલું ખોટું વાક્ય છે.
3. આ દસ વાક્યોમાં કોઈ ત્રણ ક્રમિક વાક્યો ખોટા છે.
4. છેલ્લા ખરા અને પેલ્લા ખરા વિધાનો વચ્ચેનો તફાવત આ સંખ્યા (કે જે શોધવાની છે) ને નિશેષ ભાગી શકે છે.
5. બધા ખરા વિધાનોના ક્રમાંકનો સરવાળો તમારે શોધવાનો છે.
6. આ વિધાન છેલ્લું ખરું વિધાન નથી.
7. દરેક ખરા વિધાનનો ક્રમ આ સંખ્યાને (કે જે શોધવાની છે) નિશેષ ભાગી શકે છે.
8. જે સંખ્યા શોધવાની છે એ સાચા વિધાનોની ટકાવારી બરાબર છે.
9. જે સંખ્યા શોધવાની છે એના અવયવોની સંખ્યા ( ૧ અને એ સંખ્યા પોતાને બાદ કરતા બાકીના અવયવોની સંખ્યા ) , બધા સાચા વિધાનોના ક્રમાંકોના સરવાળા કરતા મોટી સંખ્યા છે.
10. અહી કોઈ ત્રણ ક્રમિક વિધાનો સાચા નથી.

આવી સૌથી નાની સંખ્યા કઈ?

જવાબ ક્યાં મોકલશો?

તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpesh.bhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.