નવ અંકની સંખ્યા

ગયા અંકના સવાલ:

એક નવ આંકડાની સંખ્યા છે અને નવથી ભાજ્ય છે. શરૂઆતના ૮ અંકોથી રચાતી સંખ્યા ૮ વડે ભાજ્ય છે. શરૂઆતના ૭ અંકોથી રચાતી સંખ્યા ૭ વડે ભાગી શકાય છે. પહેલા છ અંકોથી બનતી સંખ્યા ૬ વડે ભાગી શકાય છે. આમ છેક પહેલા બે અંકો સુધી આ ક્રમ ચાલે છે.
૧) સૌથી મોટી આવી સંખ્યા કઈ ?
૨) ૧ થી ૯ આંકનો ફક્ત એક જ વખત ઉપયોગ કરી મળતી આવી સંખ્યા કઈ ?

જવાબ:

ઘણા બધા વાંચકોએ સાચા જવાબ મોકલ્યા. પહેલો  પ્રશ્ન ખુબ સરળ હતો. કેમ કે ગયા વખતે સૌથી નાની સંખ્યા વિષે આપણે ચર્ચા કરી હતી. બીજા સવાલના જવાબ તો ઘણા વાંચકોએ સાચા લખ્યા પણ માત્ર ૩ વાંચકોએ એનું લોજીક લખ્યું. ૧) તૃપ્તેશ એસ પટેલ ૨) તરુણ અઘારા( એલ ડી એન્જ કોલેજ ) ૩) જીગ્નેશ ગઢિયા (સુરત)

સૌથી મોટી આવી સંખ્યા શોધવા માટે પહેલા અંકથી ચાલુ કરી એક પછી એક અંક લેતા જાવ જે ૯ કે તેનાથી શક્ય તેટલી નજીકની સંખ્યા હોય. દા.ત. ૯૮  એ બેકી સંખ્યા છે, ૯૯ એકી હોય બેથી ભાજ્ય નથી. ૯૮૯ લેતા ૩થી ભાજ્ય નથી. પણ ૯૮૭ ત્રણથી ભાગી શકાય છે, કેમ કે તેનો સરવાળો ૨૪ છે જે ૩થી ભાગી શકાય છે. આમ, આગળ વધતા જવાબ મળે ૯૮૭૬૫૪૫૬૪.
 
બીજોસવાલ હતો, ૧થી ૯ સુધીના અંકો માત્ર એક વખત વાપરી આવી નવ અંકની સંખ્યા કઈ? અને આ સવાલ આ સીરીઝનો સૌથી રસપ્રદ સવાલ હતો. ચાલો શોધીએ આ અંક.

ધારો કે આ સંખ્યા છે A1A2A3A4A5A6A7A8A9 અને ધારો કે વિધેય A જ્યાં A (૧) = A1 ,  A (2) = A1A2 , A (3) = A1A2A3 , વગેરે છે. અહી સ્પષ્ટ છે કે  A5 =૫. બીજી કોઈ સંખ્યા ૫થી ભાજ્ય નથી.
હવે A2 A4 A6 અને A8 બેકી સંખ્યાઓ છે  માટે ૨,૪,૬, કે ૮. તો બાકી રહેલી એકી સંખ્યાઓ ૧,૩,૭ અને ૯ A1  A3 A7 A9 જગ્યાઓ પર આવશે.            


હવે A8 માટેની શક્યતાઓ વિચારતા, અહી A6 બેકી સંખ્યા હોવાથી, જો A7A8 ૮થી ભાજ્ય હોય તો A (૮) ૮ થી ભાજ્ય બને. માટે A7A8ની   શક્ય કિમતો ૧૬,૩૨,૭૨ અને ૯૬.કેમ કે A7 એ એકી સંખ્યા છે...........X1
હવે A (૬) એ ૬ થી ભાજ્ય સંખ્યા હોય, એની સંખ્યાઓનો સરવાળો ૩થી ભાજ્ય હોય અને A6 બેકી સંખ્યા પણ છે. A1 +A2 +A3 +A4 +A5 +A6 ૩થી ભાજ્ય છે. વળી A (૩) પણ  ૩થી  ભાજ્ય છે તેથી A1+A2 +A3  પણ  ૩થી ભાજ્ય છે. તેથી A4 +A5 +A6 એ ૩થી ભાજ્ય હોય. માટે A4A5A6 ૨૫૮ કે ૬૫૪ જ હોય શકે.



માટે, A4 ની  કીમત  ૨ અથવા ૬ છે.   જો ૨ હોય તો A6 =૮ અને X1 પરથી  A8 =૬ અને A7 = ૧ કે ૯.
પણ જો A4 =૬ તો A6 =૪ અને   X1 પરથી  A8 = ૨ અને A7 = ૩ કે ૭. 
માટે, A2 =૪ કે ૮.

હવે A (૩) માટેની સહ્ક્ય્તાઓ વિચારતા,
A1 +A2 +A3 એ ૩થી ભાજ્ય છે. અને A2 = ૪ કે ૮.
માટે A(3) = ૧૪૭ ,  ૧૮૩ , ૧૮૯ , ૩૮૧ , ૩૮૭ , ૭૪૧ , ૭૮૩ , ૭૮૯ , ૯૮૧ , કે ૯૮૭

હવે ઉપરના બધા વિધાનો ધ્યાનમાં લેતા નીચેના શક્ય અંકો મળે.
૧૪૭૨૫૮૯૬૩, ૧૮૩૬૫૪૭૨૯ ,૧૮૯૬૫૪૩૨૭ , ૧૮૯૬૫૪૭૨૩ , ૩૮૧૬૫૪૭૨૯
૭૪૧૨૫૮૯૬૩, ૭૮૯૬૫૪૩૨૧ , ૯૮૧૬૫૪૩૨૭ , ૯૮૧૬૫૪૭૨૩ , ૯૮૭૬૫૪૩૨૧


પણ A (૭) એ સાતથી ભાગી શકાય છે કે કેમ તે ચકાસતા, માત્ર ૩૮૧૬૫૪૭૨૯ સંખ્યા રહે છે.  આમ આ સવાલને માત્ર એક જ જવાબ છે: ૩૮૧૬૫૪૭૨૯.


End Game
અનીલ,  પાલવ, વૈશાલી અને સંગીતા એક નદી પરના સાંકડા લક્કડિયા પુલને રાતના સમયે ઓળંગવા માંગે છે.  તેમની પાસે એક જ ટોર્ચ છે. જેના વગર આ પુલ ઓળંગી શકાય એમ નથી. પુલ બેથી વધારે જણનો વજન ઊંચકી શકે એટલો મજબુત નથી. દરેકની ચાલવાની ઝડપ પણ અલગ છે.

• સંગીતા એક મીનીટમાં પુલ ઓળંગે છે.
• વૈશાલી બે મીનીટમાં પુલ ઓળંગે છે.
• પાલવ પાંચ મીનીટમાં પુલ ઓળંગે છે.
• અનીલ દસ મીનીટમાં પુલ ઓળંગે છે.

ઓછામાં ઓછા કેટલા સમયમાં આ પુલ આ ગ્રુપ ઓળંગી શકશે ?

જવાબ ક્યાં મોકલશો?

તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.