QR Code

આ છે અમારા બ્લોગનો QR Code ! એના વિષે વિસ્તૃત માહિતી પછી ક્યારેક માણીશું  પણ અત્યારે તો તમારા કોઈ પણ મોબાઈલ  (મોબિલ)  ડિવાઇસ પર બારકોડ રીડર કે સ્કેનર એપ  વાપરી તમારો ફોનનો કેમેરા આ ઈમેજ પર રાખશો એટલે આ બ્લોગ તમારા ડિવાઇસ પર ખુલી જશે. 


જો તમે એન્ડ્રોઇડ ડિવાઇસ વાપરતા હોવ તો આવી એપ તમને અહીંથી મળશે.
જો તમે iOS ડિવાઇસ વાપરતા હોવ તો આવી એપ તમને અહીંથી મળશે. વિન્ડોઝ અને બ્લેકબેરી ડિવાઇસ માટે પણ તેમના એપ સ્ટોરમાં આવી એપ્સ ઉપલબ્ધ છે.


 

ઘાસ અને ઘેટાં

ગયા અંકનો સવાલ: 

વિષય: ગણિત 
ગહનતા : ૨.૫ /૫
 
અમારો ચનો એક ટ્રેનના પુલ પર ચાલતો જતો હતો. પુલના મધ્યબીન્દુથી માત્ર ૧૦ મીટર દુર હતો અને એણે પાછળથી ટ્રેન આવવાનો અવાજ સાંભળ્યો. એ સમયે પાછળથી આવતી ૯૦ કિમી./કલાકની ગતિએ આવતી ટ્રેન પુલની કુલ લંબાઈ જેટલી આ પુલથી દુર હતી. ચનો ઝપાટાભેર પાછો વળી છેડા તરફ એટલે કે ટ્રેન તરફ દોડ્યો. પુલ ઓળંગ્યાના ચાર મીટર પછી ટ્રેન આવી અને ચનો બચી ગયો. જો ચનો અવાજ સાંભળીને પાછો ના વળ્યો હોત અને એટલી જ ગતિથી આગળ ચાલ્યો હોત તો ટ્રેન સાથે પુલના છેડાથી દુર (પુલ પર) ૮ મીટર અંતરે અથડાયો હોત. તો સુજ્ઞ વાંચક મિત્રો આ પુલની લંબાઈ કેટલી?

જવાબ:

પહેલાં ઉકેલ જોઈ લઈએ આ સરસ અને સરળ કોયડાનો! 

ધારો કે પુલની લંબાઈ A મીટર છે.


ચનો 0.5A-10 જગ્યા પર હતો એટલે કે પુલના મધ્યબીન્દુથી ૧૦ મીટર દુર હતો. હવે ચનો ટ્રેઈન તરફ દોડ્યો અને પુલ ઓળંગ્યાના ચાર મીટર પછી ટ્રેન આવી. મતલબ ચનાએ કાપેલું અંતર (૦.5A -10 +4 )= ૦.5A -6 મીટર થયું.  ટ્રેઈન પુલના છેડાથી A  મીટર દુર હતી. માટે ટ્રેઈને આ સમય દરમિયાન કાપેલું અંતર A -4  મીટર થશે. ટ્રેઈનની વિરુદ્ધ દિશામાં દોડતાં ચનો ૦.5A+2 જેટલું અંતર કાપે છે એટલા સમયમાં ટ્રેઈન 2A - 8 મીટર અંતર કાપે છે.

અહી બંનેની સ્પીડ અચલ છે માટે ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતાં,
(0.5A-6) / (A-4) = (0.5A+2) / (2A-8)  

=>A^2  -16A + 48 = .5A^2-8
=>0.5A^2 -16A+56 = 0
=>A^2 - 32A + 112 = 0
=>(A-28)(A-4)=0
=> A = 28 મીટર  અથવા  A=4 મીટર


પણ, પુલની કુલ લંબાઈ ૪ મીટર હોય તો ચનો પુલના મધ્યબીન્દુથી  દસ મીટર દુર હોય જ ના શકે માટે પુલની લંબાઈ ૨૮ મીટર છે.


હવે સાચો (અને વિગતવાર) જવાબ મોકલનાર સૌ વાંચકો આ મુજબ છે,

ડો. જયેશ પટેલ, અમદાવાદ 
કુંપરા ભાવેશ 
નિર્મળ પટેલ, ગોધરા 
ડો. બંકિમ એમ થાનકી, રાજકોટ
ફાલ્ગુની દોશી 
ડો. ડી એમ કગથરા, મોરબી
વિરલ પટેલ 
શાહ અદિતિ, એન આર હાઇસ્કુલ, અમદાવાદ

End Game


વિષય: ગણિત 
ગહનતા : ૨.૫ /૫ 

 
ચનો પશુપાલન કરે અને ગુજરાન ચલાવે. એણે પાળેલા ઘેટાઓની  સંખ્યા વધતી ચાલી. (હોંશિયાર તો હતો જ ! ટ્રેઇનના પુલ પર ચાલતો અને એની દિમાગ શક્તિથી ગયા વખતે જ બચી ગયેલો !) એક દિવસ એણે ઘેટાઓને જરૂરી ઘાસ અને એના એક ખેતરમાં થતા ઘાસની ગણતરી માંડી. ખેતરમાં ઘાસ વધવાની ગતિ અચળ છે. એટલે કે એકસરખા રેટથી ઘાસ વધ્યે જ જાય છે. જો ચનો ૧૦ ઘેટા આ ખેતરમાં મુકે તો ૨૦ દિવસમાં ઘાસ ખૂટી પડે છે.  ૧૫ ધેટા મુકે તો ઘાસ ૧૦ દિવસમાં ખલાસ થઇ જાય છે. ચનો ૨૫ ઘેટા મુકવાનું વિચારે છે. તો હે સુજ્ઞ વાંચકો, આ ઘેટાઓ કેટલા દિવસમાં ખેતર ખાલી કરી મુકશે? ઘેટા મુકે એ સમયે ખેતરમાં ઘાસ હોય તો જ ચનો ઘેટા મોકલે, નહિ તો ઘેટા શું ઢેફા ખાય?! ઘેટાની ઘાસ ખાવાની સ્પીડ પણ અચળ છે.

જવાબ ક્યાં મોકલશો?

તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpesh.bhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો. લખ્યા તારીખ : ૧૬/૧૨/૧૧ 

ગાંધી નિર્વાણ દિન

આજે ગાંધીજીની પુણ્યતિથી નિમિત્તે ગુણવંત શાહે થોડા સમય પહેલાં લખેલાં લેખનો છેડો, અર્પણ છે આખા દેશને !
 
પાઘડીનો વળ છેડે
‘ગાંધીના કોઇ દીકરાએ ગાંધીના નામને વટાવી ખાવાનો પ્રયત્ન ન કર્યો. એમના નામે કોઇ પણ પ્રકારની ખાસ સગવડો કે સવલતોની માગણી ન કરી... કોઇએ સ્વરાજ પછી રાજકારણમાં પ્રવેશવા પ્રયત્ન ન કર્યો. એમના પૈકી કોઇએ અઢળક સંપત્તિ એકઠી ન કરી. આ બધી વાતો આમ તો સામાન્ય લાગે પણ બીજા નેતાઓના દીકરાઓ તરફ નજર કરીએ ત્યારે આ સામાન્ય ઘટનાઓ પાછળ પણ કેટલો અસામાન્ય સંયમ રહેલો હતો એ સમજાય છે.’
                                                  -(‘મને કેમ વિસરે રે’, પાન-૧૩૫). નારાયણ દેસાઇ

નોંધ: ગાંધીજીના વંશજોએ તો એમની ઉત્કૃષ્ટ ખાનદાની પ્રગટ કરી, પરંતુ ભારતના નાગરિકો તરીકે આપણી ખાનદાની ખતમ થઇ તેનું શું? નહેરુવંશી ફરજંદો વડાપ્રધાનપદને પોતાના વિશેષાધિકાર સમજી બેઠાં છે. દેશમાં કદાચ શરમનો દુકાળ પડ્યો હોય એમ લાગે છે. આશા રાખવા માટે પૂરતાં કારણો નથી.
--------------

 અને ગાંધીજીની હત્યાની મૂળ (original) FIR વર્ષો પહેલાં મારા બ્લોગ પર ચડાવેલ, અહી તેની મુલાકાત લઇ શકો છો.


--------------


ગઈ કાલે એક ઓળખતાં ના હોઈએ એવા દક્ષીણ ભારતીય પણ અમેરિકામાં સ્થાયી થયેલાં અપરિચિતનું  ઘર જોવાનું થયું, એક રૂમના ખૂણામાં રહેલા ટેબલ પર સૌથી ઉપર પડેલી ગાંધીજીની આત્મકથાએ ઘરની કિમંત/આબરૂ વધારી મૂકી. 

લંબાઈ ટ્રેઈનના પુલની

ગયા અંકનો સવાલ: 

વિષય: ગણિત 
ગહનતા : ૩.૫ /૫ પૅલિન્ડ્રૉમ એ એક મજાનો વિષય છે. સીધું અથવા ઊલટું વાંચતાં એક જ વંચાય એવો શબ્દ અથવા વાક્ય દા .ત . નવજીવન, જા રે બાવા બારેજા, ૧૨૨૧ વગેરે.


આજની પઝલ  આવા પૅલિન્ડ્રૉમ સંખ્યાન્કો  પર છે.


જો કોઈ સંખ્યા સીધું અથવા ઉલટું વાંચતા એની  કિંમત  ના બદલાય એવી સંખ્યા એટલે  પૅલિન્ડ્રૉમ સંખ્યા. અમે એક સંખ્યા લીધી, ૧૬૫. આ સંખ્યાને ઉલટાવતા નવી સંખ્યા મળી ૫૬૧. આ બંનેનો સરવાળો કરતા નવી સંખ્યા મળી ૭૨૬. ફરીથી આ સંખ્યાને ઉલટાવતા નવી સંખ્યા મળી ૬૨૭. આ બંને સંખ્યાઓનો સરવાળો કરતા (૭૨૬  + ૬૨૭ ) નવી સંખ્યા મળી ૧૩૫૩. જેમાં એની ઉલટી સંખ્યા ૩૫૩૧ ઉમેરતા મળે છે ૪૮૮૪.  જે એક પૅલિન્ડ્રૉમ સંખ્યા છે.
ટૂંકમાં,
165
561 +
-------

726
627 +
-------
1353
3531 +
-------
4884

અમને થયું લાવો બીજી કોઈ પણ ત્રણ આંકની સંખ્યા લઇ આ નુસખો અજમાવી જોઈએ. અમે એક ત્રણ આંકની સંખ્યા લીધી અને એ સંખ્યામાં અણી ઉલ્ટી સંખ્યા ઉમેરી. અમને ફરીથી એક ત્રણ આંકની સંખ્યા મળી. જેમાં તેની ઉલ્ટી સંખ્યા ઉમેરતાં અમને ફરીથી એક ત્રણ આંકની સંખ્યા મળી. ત્રીજી વખત એ સંખ્યા અને એની ઉલ્ટી સંખ્યા ઉમેરી તો અમને ચાર આંકની સંખ્યા મળી પણ એ પૅલિન્ડ્રૉમ સંખ્યા નહોતી. માટે અમે ચોથી વખત એ સંખ્યામાં એની ઉલ્ટી સંખ્યા ઉમેરી, હા આ વખતે અમારો મેલ પડ્યો! ઉપરના ઉદાહરણમાં ત્રણ વખત સરવાળો કરતાં પૅલિન્ડ્રૉમ સંખ્યા મળી ગઈ હતી પણ આ વખતે અમારે ચાર વખત સરવાળો કરવો પડ્યો. તો વાંચકો તમારે શોધવાનું છે કે ક્યાં ત્રણ અંકના નંબરથી અમે અમારો નુસખો ચાલુ કર્યો હશે?!
 

જવાબ:

પહેલાં ઉકેલ જોઈ લઈએ આ ખુબ જ રસપ્રદ કોયડાનો! 

ત્રણ અંકની સંખ્યા અને તેની ઉલટી સંખ્યા ઉમેરતાં ફરીથી ત્રણ આંકની સંખ્યા મળે છે જે પેલીન્ડ્રોમ સંખ્યા નથી. 

માટે,

       abc
       cba +
     -------
       def
       fed +
     -------
       ghi

અહીં def એ પેલીન્ડ્રોમ સંખ્યા નથી માટે d અને f વચ્ચેનો તફાવત ૧નો જ હોય શકે. (સોચો! )  ...(૧ )
abc   ની સુંથી નાની શક્ય કિંમત ૧૦૨ શક્ય છે.  ..............................(૨)
(૧) અને (૨) પરથી, માટે def ની ઓછામાં ઓછી કિંમત  ૪૦૩ છે.  માટે d +f ની ઓછામાં ઓછી કિંમત ૭ છે.
હવે ghi પણ ત્રણ અંકની પણ પેલીન્ડ્રોમ ના હોય એવી સંખ્યા છે.  માટે i =d +f   ની કિંમત વધુમાં વધુ ૮ છે. પણ d અને f  સરખા નહિ હોવાથી તેનો સરવાળો બેકી સંખ્યા ના હોય શકે. માટે i ની કિંમત ૭ છે. 


પ્રથમ abc < cba  લેતાં, 
a ની કિંમત ૧ અને c ની કિંમત ૨ છે. 

       1b2
       2b1 +
     -------
       4e3

અહી  b  ની કિંમત ૫ કે તેથી મોટી હોય તો જ આ સમીકરણ ખરું છે.
હવે આગળનું સ્ટેપ વિચારતાં,

       4e3
       3e4 +
     -------
       8h7

ઉપર મુજબ અહી પણ e ની કિંમત ઓછામાં ઓછી ૫ હોવી જોઈએ. માટે b ની શક્ય કિંમતો ૮ કે ૯ જ રહે છે.    પણ b = ૮ લેતાં  ચાર વખત સરવાળો કરતા પેલીન્ડ્રોમ સંખ્યા મળતી નથી, માટે b =૯ હોવી જોઈએ.


આમ a =૧, b =૯, અને c =૨. abc = ૧૯૨.

       192
       291 +    
     -------
       483
       384 +
     -------
       867      
       768 +
     -------
      1635
      5361 +
     -------
      6996      

હવે બીજો કેસ, જો abc < cba ના હોય તો ?!  તો જવાબ ૨૯૧ મળશે. આમ કુલ બે જવાબ  મળ્યા: ૨૯૧ અથવા ૧૯૨.
ઘણા બધા વાંચકોએ પ્રયત્નો કર્યા અને ઘણા વાંચકોએ સાચો જવાબ પણ આપ્યો. પણ જરૂરી વિવરણ આપવાનું મોટા ભાગે બધા ભૂલી ગયા ! માત્ર નિયમિત વાંચક ફાલ્ગુની દોશીએ થોડુક લોજીક લખી મોકલ્યું. પણ અમને એક બહુ સરસ જવાબ મળ્યો રાજકોટથી અંકુલ તન્નાનો. જેમને એક c ++ પ્રોગ્રામ રાતોરાત બનાવી કાઢ્યો અને અમને એમના જવાબો પ્રોગ્રામ સાથે બીજા જ દિવસે મોકલી આપ્યો! 




ખુબ અભિનંદન બધા ખરા વાંચકોનો પણ અમને માત્ર જવાબ કરતાં જવાબ શોધવાની રીતમાં વધુ રસ છે!

End Game


વિષય: ગણિત 
ગહનતા : ૨.૫ /૫

 
અમારો ચનો એક ટ્રેનના પુલ પર ચાલતો જતો હતો. પુલના મધ્યબીન્દુથી માત્ર ૧૦ મીટર દુર હતો અને એણે પાછળથી ટ્રેન આવવાનો અવાજ સાંભળ્યો. એ સમયે પાછળથી આવતી ૯૦ કિમી./કલાકની ગતિએ આવતી ટ્રેન પુલની કુલ લંબાઈ જેટલી આ પુલથી દુર હતી. ચનો ઝપાટાભેર પાછો વળી છેડા તરફ એટલે કે ટ્રેન તરફ દોડ્યો. પુલ ઓળંગ્યાના ચાર મીટર પછી ટ્રેન આવી અને ચનો બચી ગયો. જો ચનો અવાજ સાંભળીને પાછો ના વળ્યો હોત અને એટલી જ ગતિથી આગળ ચાલ્યો હોત તો ટ્રેન સાથે પુલના છેડાથી દુર (પુલ પર) ૮ મીટર અંતરે અથડાયો હોત. તો સુજ્ઞ વાંચક મિત્રો આ પુલની લંબાઈ કેટલી?

જવાબ ક્યાં મોકલશો?

તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpesh.bhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો. લખ્યા તારીખ : ૧૬/૧૨/૧૧ 

પૅલિન્ડ્રૉમ પઝલ

ગયા અંકનો સવાલ: 

વિષય: ગણિત 
ગહનતા : ૩/૫
૧) હું ચાર આંકડાની સંખ્યા છું. મારો બીજો આંકડો ત્રીજા આંક કરતાં બમણી કિંમત ધરાવે છે. મારા બધાં આંકનો સરવાળો મારા છેલ્લા અંક કરતા ત્રણ ઘણો છે. મારા છેલ્લા બે અંકોનો ગુણાકાર, મારા બીજાં અને ત્રીજા અંકોના રેશિયો (ભાગફળ)  કરતાં ૧૨ ઘણો મોટો છે. તો હું કોણ છું?!

વિષય: લોજીક 
ગહનતા : ૩.૫ /૫  

૨) આ સીરીઝમાં, કયો આંક મુકશો ખાલી જગ્યામાં ?
૧, ૧૧, ૨૧, ૧૨૧૧, ૧૧૧૨૨૧, ________
 
જવાબ:
1)

ધારો કે આ સંખ્યા abcd છે. માટે આપેલ માહિતી પરથી,
b  = 2c  ...........I,
a +b +c +d  = 3d .............II,
a  +3c   = 2d


c *d  = 12 (b /c )
 = c *d  = 12 (2c /c ) = 24  ( I  પરથી )
=> d = 24 /c ...............III
=> c = 3,4,6,8  d= 8,6,4,3. ( c  અને d  ની શક્ય કિંમતો )
પણ I  પરથી, c  ની કિંમત 4  કે તેનાથી નાની હોવી ઘટે.  માટે c = ૩ કે 4 
જો c = 4 હોય તો d = 6 અને b =8 => a =0 માટે c = ૩.

 => d = 8 , b = 6
II પરથી, a  =  7
આમ આ સંખ્યા છે 7638 .


૨) 
૧, ૧૧, ૨૧, ૧૨૧૧, ૧૧૧૨૨૧, ________

સીરીઝનું પ્રથમ પદ, ૧. કેટલા ૧ છે ?  એક જ . આમ ૧૧. (  એક  ૧ )
બીજું  પદ, ૧૧. કેટલા એકડા  છે? બે . માટે ૨૧   (બે ૧ )
 ત્રીજું પદ, ૨૧. કેટલા બગડા છે ? એક. ( એક ૨ ) અને કેટલા એકડા છે? એક. માટે ૧૧. આમ પછીની સંખ્યા બને છે ૧૨૧૧.
ચોથું પદ, ૧૨૧૧. કેટલા એકડા છે ? એક. માટે ૧૧. કેટલા બગડા છે? એક. ૧૨. ફરીથી ૧ આવે છે એટલે ફરીથી એકડા ગણીએ તો ૨. માટે ૨૧. આમ પંચમી સંખ્યા બને છે ૧૧૧૨૨૧.
પાંચમું પદ ૧૧૧૨૨૧. ત્રણ એકડા, બે બગડા અને એક એકડો. ૩૧૨૨૧૧.
છઠ્ઠું પદ બને છે ૩૧૨૨૧૧.


બંને ખરા જવાબો મોકલનારા 'ખરા વાંચકો' આ મુજબ છે:

માધવ ધોળકિયા, રાજકોટ 
દક્ષેશ શાહ, અમદાવાદ 
ઓમ પટેલ 
પૂજિત દેવાણી, સુરત 
દર્શન ઠક્કર, નડિયાદ 

ખુબ અભિનંદન !

End Game


વિષય: ગણિત 
ગહનતા : ૩.૫ /૫

પૅલિન્ડ્રૉમ એ એક મજાનો વિષય છે. સીધું અથવા ઊલટું વાંચતાં એક જ વંચાય એવો શબ્દ અથવા વાક્ય દા .ત . નવજીવન, જા રે બાવા બારેજા, ૧૨૨૧ વગેરે.


આજની પઝલ  આવા પૅલિન્ડ્રૉમ સંખ્યાન્કો  પર છે.


જો કોઈ સંખ્યા સીધું અથવા ઉલટું વાંચતા એની  કિંમત  ના બદલાય એવી સંખ્યા એટલે  પૅલિન્ડ્રૉમ સંખ્યા. અમે એક સંખ્યા લીધી, ૧૬૫. આ સંખ્યાને ઉલટાવતા નવી સંખ્યા મળી ૫૬૧. આ બંનેનો સરવાળો કરતા નવી સંખ્યા મળી ૭૨૬. ફરીથી આ સંખ્યાને ઉલટાવતા નવી સંખ્યા મળી ૬૨૭. આ બંને સંખ્યાઓનો સરવાળો કરતા (૭૨૬  + ૬૨૭ ) નવી સંખ્યા મળી ૧૩૫૩. જેમાં એની ઉલટી સંખ્યા ૩૫૩૧ ઉમેરતા મળે છે ૪૮૮૪.  જે એક પૅલિન્ડ્રૉમ સંખ્યા છે.


ટૂંકમાં,
165
561 +
-------

726 627 + ------- 1353 3531 + ------- 4884 અમને થયું લાવો બીજી કોઈ પણ ત્રણ આંકની સંખ્યા લઇ આ નુસખો અજમાવી જોઈએ. અમે એક ત્રણ આંકની સંખ્યા લીધી અને એ સંખ્યામાં અણી ઉલ્ટી સંખ્યા ઉમેરી. અમને ફરીથી એક ત્રણ આંકની સંખ્યા મળી. જેમાં તેની ઉલ્ટી સંખ્યા ઉમેરતાં અમને ફરીથી એક ત્રણ આંકની સંખ્યા મળી. ત્રીજી વખત એ સંખ્યા અને એની ઉલ્ટી સંખ્યા ઉમેરી તો અમને ચાર આંકની સંખ્યા મળી પણ એ પૅલિન્ડ્રૉમ સંખ્યા નહોતી. માટે અમે ચોથી વખત એ સંખ્યામાં એની ઉલ્ટી સંખ્યા ઉમેરી, હા આ વખતે અમારો મેલ પડ્યો! ઉપરના ઉદાહરણમાં ત્રણ વખત સરવાળો કરતાં પૅલિન્ડ્રૉમ સંખ્યા મળી ગઈ હતી પણ આ વખતે અમારે ચાર વખત સરવાળો કરવો પડ્યો. તો વાંચકો તમારે શોધવાનું છે કે ક્યાં ત્રણ અંકના નંબરથી અમે અમારો નુસખો ચાલુ કર્યો હશે?!   જવાબ ક્યાં મોકલશો? તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpesh.bhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો. લખ્યા તારીખ : ૨૯/૧૧/૧૧