ત્રણ મિત્રો, કુતરો અને પેંડા !

ગયા અંકનો સવાલ: 

ત્રણ મિત્રો દશેરા પર પેંડા લાવ્યા.  પણ દશેરાનો ઉપવાસ હોય ખાઈ શક્યા નહિ. નક્કી થયું સવારે ઉઠીને ખાશું! બે વાગ્યે એક મિત્ર ઉભો થયો અને કડકડતી ભૂખ લાગી હતી, વિચાર્યું કે બાર વાગ્યા પછી તો ખવાય. પેંડા ત્રણ સરખા ભાગે વહેંચ્યા અને એક પેંડો વધ્યો એ ફળિયામાં સુતેલાં કુતરાને નાખી દીધો, પોતાના ભાગના પેંડા ખાઈ (પેટ પર હાથ ફેરવતાં !) ઊંઘી ગયો. આવું જ બીજા મિત્ર સાથે પણ થયું. ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો, પોતાનો ભગ ખાઈ લીધો અને સુઈ ગયો. અને ત્રીજા મિત્રની આંખ ખુલી તો એણે પણ આવું જ કર્યું. ( આખરે ત્રણેય મિત્રો ખરા ને !). સવારે બધા ઉઠ્યા, ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો ( હવે, કુતરો ધરાઈ ગયો !) સૌ પોતપોતાનો ભાગ ખાઈ ગયા !

હવે આ વાર્તા પછી સવાલ એ થયો કે, તો પેંડા હશે કેટલાં? ( સૌથી નાની સખ્યા શોધવી, નહિ તો આ લોકો ખાઈ નહિ શકે !)


જવાબ:
૭૯.

લગભગ ૮૦ % જવાબો સાચા મળ્યા, પણ માત્ર ૧-૨% લોકોએ જ ખરી સાબિતી આપી. મહદ અંશે બધાએ ફક્ત "તાળો જ મેળવ્યો"! જવાબ કેવી રીતે આવ્યો એ અગત્યનું છે નહિ કે તમે ધારેલો જવાબ સાચો જ છે એ ચકાચવાનું !! ૭૯ પેન્ડામાંથી એક કુતરાને નાખ્યોને ૭૮ન ત્રણ ભાગ કર્યા, વગેરે વગેરે એ સાબિતી નથી. એ તાળો મેળવ્યો કહેવાય અને તાળો મેળવતાં પહેલાં જવાબ મેળવવાની પક્રિયાનો અધ્યાહાર ના ચાલે.
આ કોયડો આપણે ત્યાં ખુબ પ્રખ્યાત છે.  (અને કદાચ એટલે જ ઢગલાબંધ જવાબો મળ્યા.) પણ આવો જ એક કોયડો દુનિયાના બીજા દેશોમાં પણ પ્રચલિત છે  જે છેલ્લે આજની એન્ડ ગેમમાં મુકેલ છે.

ચાલો હવે ઉકેલ જોઈએ.  બે મુખ્ય રીતે આ સવાલ ઉકેલી શકાય. ૧) સવારે બધા મિત્રો ઉઠ્યા ત્યારે ધારો કે "અ" પેંડા હતાં. અને આ ગણતરી આ જ રીતે ઉંધા ક્રમમાં ચાલે. ૨) ધારો કે "અ" પેંડા લાવ્યા. પહેલાં મિત્રે ત્રણ ભાગ પાડ્યા. અને ગણતરી આગળ ચાલે. બંને રીતે છેલ્લે એક સમીકરણ મળશે જે પૂર્ણાંક માટે ઉકેલતાં જવાબ મળશે. પ્રથમ રીતથી આ સવાલ ઉકેલતાં સમીકરણ ખાસ અઘરું  નહિ બને કારણ કે આપણે દરેક વખતે ૩થી ભાંગવા નહિ પડે.

ધારો કે સવારે ઉઠ્યા ત્યારે  દરેકના ભાગે x  પેંડા આવ્યા. મતલબ કુલ 3x +૧  પેંડા સવારે રહ્યા હતાં.

ત્રીજો મિત્ર ઉઠ્યો ત્યારે કુલ  ૧/૨ (  3x +૧  ) + ( 3x +૧) +૧  = ૧/૨ ( ૯x + ૫ ) પેંડા હશે.

બીજો મિત્ર ઉઠ્યો ત્યારે કુલ (૯x +૫ )/ ૪  + ૧/૨  ( ૯ x   +૫ )  +૧ = ૧/૪ (૨૭ x + ૧૯)

એ જ રીતે પ્રથમ મિત્ર ઉઠ્યો ત્યારે, ૧/૮ ( ૮૧ x + ૬૫ ) પેંડા હશે .

હવે, ૧/૮ ( ૮૧ x + ૬૫ ) =  ૧૦  x   + ૮  + ૧/૮ (x   + ૧  )


અહી પેંડાની સખ્યા પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય અને x પણ પૂર્ણાંક સંખ્યાહોય, ૧/૮ ( x + ૧ ) પૂર્ણાંક સંખ્યા જ હોય.  માટે x +૧  એ ૮થી ભાજ્ય સંખ્યા હોવી જોઈએ.  આવી સૌથી નાની સંખ્યા મેળવવા x +૧ = ૮ લેતા x = ૭ મળે. મતલબ સવારે ઉઠી દરેક મિત્રના ભાગમાં સાત પેંડા આવ્યા. 

કુલ પેંડા = ૧૦  x   + ૮  + ૧/૮ (x   + ૧  )  = ૧૦*૭+૮+૧ = ૭૯.
 જવાબ આપનાર વાંચકો:
સંપૂર્ણ સાચા જવાબો  માત્ર નીચેના વાંચકોએ આપ્યા!

વૈભવ શાહ,ભરૂચ 
પીયૂષ પટેલ, ન્યુ જર્સી, અમેરિકા 
દિપાલી વી શાહ, કપડવંજ
કલ્પેશ અખાણી, રાધનપુર

સરસ પ્રયત્ન કરનાર વાંચકો:
પાર્થ મહેતા, વેજલપુર
કમલનયન  કિનારીવાલા
મુકુલ ત્રિવેદી, અમદાવાદ
ઉમંગ સુતરિયા
અક્ષય પટેલ, મોટી ખડોલ  
સુપાશ્ર્વ મહેતા

સાચો જવાબ મોકલનાર સૌ વાંચકોના નામ www .alpeshbhalala .com  પર મુકેલાં છે.

End Game

પાંચ માણસો પ્લેન તૂટતાં એક નિર્જન ટાપુ પર ફસાયા.  પહેલાં દિવસે ટાપુ પરથી તેઓએ નાળીયેરભેગા કર્યા. સાંજે અંધારું થઇ જતા નક્કી કર્યું કે હવે કાલે ભાગ પાડીશું.  રાત્રે  સાવચેતીના ભાગ રૂપે દર-એકે જાગવાના વારા રાખ્યા. પહેલો માણસ થોડી વાર પછી ચોકી કરીને કંટાળ્યો. નવરાશના સમયનો ઉપયોગ કરવા એણે નાળીયેરના પાંચ ભાગ કર્યા, એક નાળીયેર વધ્યું, જે તેણે વાંદરાને આપી દીધું. પોતાનો ભાગ સંતાડી દીધો. બાકીના ચાર ભાગનો એક ઢગ બનાવી દીધો.  લાંબી વાર્તા ટૂંકમાં, દરેક માણસે આવું કર્યું. સવારે બધાએ સરખા ભાગ પડી લીધા, વાંદરાને આપવાની જરૂર ના પડી. આવી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ અથવા તે લોકોએ કેટલાં નાળીયેર ભેગા કર્યા હશે ? બીજો પ્રશ્ન, દરેકના ભાગે કેટલાં નાળીયેર આવ્યા હશે?

જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com  પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.

બધા જ ખરા જવાબ મોકલનાર વાંચકો:
વી પી મેહતા
ભાવેશ ઝીન્ઝાળા
સુથાર રોનક
સંજય પટેલ
દર્શન ત્રિવેદી
નીતિન રામચંદાની
વિશાલ સાઈમન
જનક પંચાલ
અંકિતા નસીત
રાજેશ કાસુન્દ્રા
હિતેશ ભાલીયા
વિરલ ફીચડીયા
હની પી શાહ
ડો સમીર દાણી
રોનક રાવલ
મિતેશ પટેલ
જયદીપ પટેલ
ડો હિતેશ ભાલીયા
સુમિત વાલુ
આરતી કાશીપરા
નિરાળી અમૃતિયા
કેવળ શાહ
અનિલકુમાર શાહ
દિવ્યેશ પોલરા
પ્રવીણ શાહ
ચિરાગ પંડ્યા
નિધિ મકવાણા
રિદ્ધિ પંડ્યા
ફાલ્ગુની દોશી
હેમંત પંડ્યા
એસ બી મહાજન
અસારી જેમ્સ
દિનેશ વકીલ
શિવાંગ સોની
અમી પટેલ
ભારતી સોલંકી
અરીફ્ખાન પઠાણ
કનુભાઈ પટેલ 
જયમીન પરીખ
શિવાંગ વચ્ચરાજાની
દૈનિક શાહ
ભાવેશ નાકરાણી
મહેન્દ્ર પ્રજાપતિ
રેણુકા ત્રિવેદી
નિસર્ગ ત્રિવેદી
એકતા પટેલ
અંકિત બાર્વે
વીજેશ સવાણી
પ્રણવ જોશી
પ્રણાલી ભટ્ટ
પીયુષ શાહ
મોહમ્મદ
હિમાંશુ જોશી
હીના રાદડિયા
રીતેશ ગજરે
નિરંજન બારિયા
ભૈરવ ભંડારી
હિતેશ સંઘવી
ભાવેશ હડીયલ
મલેક રીયાઝ અનવર
હિતેશ પોકાર
રાજ દિગ્વિજયસિંહ
સમીર રાવલ
એન ડી પટેલ
જીગરસિંહ વાઘેલા
જયેન્દ્રભાઈ સગલાની
અભય પટેલ
ઉપેન્દ્ર મહેતા
રીન્કુ મકવાણા
મયુર પટેલ
દીપક  પ્રજાપતિ
 અજય પટેલ
બી સી વી
ધીરજ પટેલ
લલિત વાઢેર
ભાવિક ચૌહાણ
રીકેન ગાબાણી
વિપુલ વાઢેર
પીયુષ કામાની

આભાર સૌ મિત્રોનો આટલા ઉત્સાહથી જવાબો મોકલવા બદલ !

Student@competition

ગયા અંકનો સવાલ :

એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં  ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં  હશે?


જવાબ :
ખાના નંબર ૧,૪,૯,૧૬,૨૫,૩૬,૪૯,૬૪,૮૧,૧૦૦ ખુલ્લાં હશે બાકી રહેલાં ખાનાઓ બંધ હશે.

દરેક નંબરના જેટલા અવયવો હોય એટલી વખત એ નંબરનું ખાનું ખોલ-બંધ થશે. ઉદાહરણ, ૬ નંબરના ખાનાને કોણ કેટલી વખત ખોલ-બંધ કરે છે તે જોઈએ. પ્રથમ નંબરનો વિદ્યાર્થી આ ખાનું ખોલશે, બીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી આ ખાનું બંધ કરશે, ત્રીજા નંબરનો વિધ્યાર્થી આ ખાનું ખોલશે અને છઠ્ઠા નંબરનો વિદ્યાર્થી આ ખાનું બંધ કરશે. કારણ કે ૬ના અવયવો છે ૧,૨,૩ અને ૬. આમ, જો અવયવોની સંખ્યા એકી હોય તો જ આ ખાનું છેલ્લે સુધી ખુલ્લું રહે. આપણાં ઉદાહરણમાં ૪ અવયવો છે માટે આં ખાનું છેલ્લે બંધ હશે. હવે સવાલ રહ્યો એવા નંબર ( સો કે તેથી નાના ) શોધવાનો જેના અવયવોની સંખ્યા એકી હોય. દા.ત. નંબર ૧. જેને એક માત્ર અવયવ છે ૧ પોતે. થોડા વધુ નંબર તપાસતાં ( અથવા ગાણિતિક સિધ્ધાંત, દરેક પૂર્ણ વર્ગ સખ્યાઓને એકી સખ્યામાં અવયવો હોય ) જણાશે કે ૪, ૯, ૧૬.. વગેરે પૂર્ણ વર્ગ સખ્યાઓને એકી સખ્યામાં અવયવો છે. (કેમ?? ) આમ ૧૦૦ કે તેથી નાની સખ્યાઓ મળે છે ૧,૪,૯,૧૬,૨૫,૩૬,૪૯,૬૪,૮૧ અને ૧૦૦. આ નંબરના ખાનાઓ છેલ્લે સુધી ખુલ્લાં રહેશે અને બાકીના ખાનાઓ બંધ રહેશે.  છે ને રસપ્રદ! ગણિતના એક સુક્ષ્મ સિદ્ધાંતના ઉપયોગથી અઘરી લગતી પઝલ પળવારમાં ઉકેલી શકાય છે!

પઝલ ઉકેલનાર વાંચકો:
આનંદ ગૌતમ
પીયુષ કામાણી, થોરીયાળી
આશિષ પટેલ
મુસેબખાન પઠાણ, રતનપુર
દિપાલી વી શાહ, કપડવંજ
વૈભવ શાહ, ભરૂચ
પહેલાં બે દિવસમાં મળેલાં જવાબો પરથી આ લીસ્ટ બનેલું છે.
 
End Game :
 
ત્રણ મિત્રો દશેરા પર પેંડા લાવ્યા.  પણ દશેરાનો ઉપવાસ હોય ખાઈ શક્યા નહિ. નક્કી થયું સવારે ઉઠીને ખાશું! બે વાગ્યે એક મિત્ર ઉભો થયો અને કડકડતી ભૂખ લાગી હતી, વિચાર્યું કે બાર વાગ્યા પછી તો ખવાય. પેંડા ત્રણ સરખા ભાગે વહેંચ્યા અને એક પેંડો વધ્યો એ ફળિયામાં સુતેલાં કુતરાને નાખી દીધો, પોતાના ભાગના પેંડા ખાઈ (પેટ પર હાથ ફેરવતાં !) ઊંઘી ગયો. આવું જ બીજા મિત્ર સાથે પણ થયું. ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો, પોતાનો ભગ ખાઈ લીધો અને સુઈ ગયો. અને ત્રીજા મિત્રની આંખ ખુલી તો એણે પણ આવું જ કર્યું. ( આખરે ત્રણેય મિત્રો ખરા ને !). સવારે બધા ઉઠ્યા, ત્રણ ભાગ કર્યા, એક પેંડો વધ્યો, કુતરાને નાખ્યો ( હવે, કુતરો ધરાઈ ગયો !) સૌ પોતપોતાનો ભાગ ખાઈ ગયા !

હવે આ વાર્તા પછી સવાલ એ થયો કે, તો પેંડા હશે કેટલાં? ( સૌથી નાની સખ્યા શોધવી, નહિ તો આ લોકો ખાઈ નહિ શકે !)

તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com  પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.

મને ટીવી બનાવી દો ! – અનુ. રાજેશ્વરી શુક્લ

એક દિવસ એક પ્રાથમિક શાળાના શિક્ષિકાએ પોતાના વિદ્યાર્થીઓને કહ્યું :
‘ચાલો બાળકો, આજે તમે એક નિબંધ લખીને મને આપો. નિબંધનો વિષય છે : જો ભગવાન તમને કાંઈ માંગવાનું કહે તો તેમની પાસે તમે શું માંગશો ?’ બાળકોએ ઉત્સાહમાં આવી નિબંધ લખી આપ્યો. ત્યારબાદ શિક્ષિકા તે નિબંધો ઘરે તપાસવા લઈ ગયા.
સાંજે જ્યારે તેઓ નિબંધો તપાસી રહ્યા હતા, ત્યાં તેમના પતિ રૂમમાં આવ્યાં. તેમણે જોયું તો તેમનાં પત્ની રડી રહ્યાં હતાં. તેમણે પૂછ્યું : ‘કેમ શું થયું ? કેમ રડો છો ?’
શિક્ષિકાબેને કહ્યું, ‘હું મારા વિદ્યાર્થીઓનાં નિબંધો તપાસું છું.’ તેમના પતિને એક કાગળ આપતાં તેમણે ઉમેર્યું, ‘આ જુઓ, તમે પણ આ નિબંધ વાંચી જુઓ….’
તેમના પતિએ નિબંધ વાંચવાનું શરૂ કર્યું. તેમાં બાળકે લખ્યું હતું કે :
‘હે ઈશ્વર, જો તારે મને કાંઈ આપવું જ હોય તો તું મને ટી.વી. બનાવી દે. હું તેનું સ્થાન ગ્રહણ કરવા માગું છું. હું ટી.વીની જેમ ઘરમાં રહેવા માંગું છું કે જેને માટે ઘરમાં ખાસ જગ્યા હોય. મારી આસપાસ મારાં કુટુંબનાં તમામ સભ્યો હોય. સાચ્ચે જ હું ગંભીર રીતે આ કહું છું જેથી મારા કુટુંબનાં તમામ સભ્યોનું ધ્યાન હું મારા તરફ જ ખેંચી શકું. તેઓ કોઈ પણ ખલેલ પાડ્યા વગર મને એકચિત્તે સાંભળે અને કોઈ સવાલો ન પૂછે. જ્યારે ટીવી બંધ હોય ત્યારે પણ લોકો જેમ તેની ખાસ સંભાળ રાખે છે તેમ મારી પણ સંભાળ રાખે. જ્યારે પપ્પા કામ પરથી ઘેર આવે ત્યારે તેઓ સખત થાકેલા હોવા છતાં, હું ટીવી બની ગયો હોવાથી મને તેમની કંપની મળી રહે. મારી મમ્મી જ્યારે દુઃખી હોય કે ટેન્શનમાં હોય ત્યારે મને અવગણવાને બદલે મને જ જોવા ઝંખે. મારી સાથે રહેવા માટે મારા ભાઈબહેનો લડાલડી કરે. હું એવું અનુભવવા માગું છું કે બધી જ વસ્તુઓ એકબાજુએ મૂકીને કુટુંબનાં સભ્યો મારા માટે સમય ફાળવે. છેલ્લે, મને ટી.વી. બનાવી દો જેથી હું મારા કુટુંબને સુખ, આનંદ આપી શકું અને તેમનું મનોરંજન કરી શકું. હે ભગવાન, હું બીજું કાંઈ નથી માંગતો પણ ઇચ્છું છું કે તમે મને જલ્દીથી ટી.વી. બનાવી દો.’
શિક્ષિકાની આંખોમાંથી ચોધાર આંસુ વહી રહ્યાં હતાં.
તેમના પતિ બોલ્યા : ‘હે ભગવાન ! બિચારું બાળક…કેવા ભયાનક માતા-પિતા છે !’
શિક્ષિકાએ ચોધાર આંસુ સારતાં પોતાનાં પતિની સામે જોયું અને દયામણા અવાજે બોલ્યા, ‘આ નિબંધ આપણા દીકરાએ લખેલો છે…’

બેંક કેશીયરનો ગોટાળો

ગયા અંકમાં બે સવાલો પુછેલાં:


૧) એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના ખુલ્લા કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં  ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં  હશે?

૨) એક મૂંઝાયેલા બેંક કેશિયરે મી. પટેલના ચેક ચુકવતી વખતે ગડબડ કરી દીધી. જેટલાં રૂપિયા આપવાના હતાં એટલાં પૈસા આપી દીધાં અને  પૈસા આપવાના હતાં એટલાં રૂપિયા આપી દીધાં. મી.પટેલે બહાર નીકળીને 50 પૈસાની ચોકલેટ ખરીદી. હવે મી. પટેલ પાસે ચેક પર લખેલી રકમ કરતાં ત્રણ ઘણી રકમ હાથ પર હતી. તમે શોધી શકો કે એ ચેક પર લખેલી રકમ કેટલી હશે ?

ઘણા વાંચકોએ બીજા સવાલના ખરાં જવાબો આપ્યા. પણ પહેલા સવાલને થોડો સુધારવાની જરૂર છે અને પછી વાંચકો જરૂરથી એ પણ ઉકેલશે.  જે આજે અંતમાં ફરીથી મુકેલ છે.


સત્તર વાંચકોએ સાચો જવાબ આપ્યો (બધા ખરાં જવાબ મોકલનાર વાંચકોના નામ વેબસાઈટ www .alpeshbhalala .com પર જોઈ શકાશે. ) પણ માત્ર દિપાલીબહેન શાહે સવાલ ઉકેલવાનો ખરો પ્રયત્ન પણ કર્યો . મોટા ભાગના વાંચકોએ ફક્ત જવાબ જ લખ્યો અથવા તો જવાબ ધરી લઈને પછી ઉંધી (રીવર્સ એન્જિનિરીંગ !!) ગણતરી કરી એમનો જવાબ સાચો છે એવો તાળો મેળવ્યો.  પણ જવાબ ક્યાંથી આવ્યો અનો કોઈ ઉલ્લેખ કરવનું ટાળ્યું.   


આ રહ્યો ખરો જવાબ, હવે પછી પૂરો જવાબ કેવી રીતે મળ્યો એ પણ જરૂરથી લખશો !

ધારો કે ચેક પર લખેલ રકમ હતી x રૂપિયા અને y  પૈસા. હવે મી. પટેલને  y  રૂપિયા અને x પૈસા ચૂકવ્યા. જેમાંથી મી. પટેલે ૫૦ પૈસાની ચોકલેટ ખરીદી.  માટે તેની પાસે રહ્યા y રૂપિયા અને (x -૫૦) પૈસા. જે મૂળ રકમ કરતા ત્રણ ઘણી હતી.


માટે, ( y રૂપિયા અને (x -૫૦) પૈસા ) =  ૩*(x રૂપિયા અને y  પૈસા ). અહીં કેશિયરની ભેળસેળ પરથી સ્પષ્ટ છે કે x અને y ૧૦૦થી  નાના છે.

મહત્વની કડી આ સવાલ ઉકેલવા માટેની : ઉપર તારવેલા સમીકરણ પરથી,  3y - (x -૫૦) એ ૧૦૦ના ગુણાંકમાં હશે અથવા શૂન્ય હશે.


૦<= x < ૧૦૦અને ૦<= y <૧૦૦

-૫૦ <= (x -૫૦)<૫૦   અને ૦<= 3y < ૩૦૦
તેથી, -૫૦ <=  3y -(x -૫૦)< ૩૫૦


-૫૦ થી ૩૫૦ની વચ્ચે ૧૦૦ના ગુણાંકમાં હોય એવીચાર શક્ય કિમંતો છે. ૦, ૧૦૦, ૨૦૦ અને ૩૦૦.


જો 3y − (x − ૫૦ ) = 0 કે 3y − (x − ૫૦ ) = ૧૦૦ કે  3y − (x − ૫૦ ) = ૩૦૦ લેતાં x અને y ની કિમંતો અપૂર્ણાંક મળે છે જેને અવગણતા, 3y − (x − ૫૦ ) = ૨૦૦ => x = ૧૮ અને y = ૫૬


આમ મૂળ ચેક પર લખેલ રકમ ૧૮ રૂપિયા અને૫૬ પૈસા હોવી જોઈએ.

 End Game :

એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં  ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં  હશે?

 
નીચેના વાચકોએ ખરા જવાબો મોકલ્યા!

કલ્પેશ વલેરા - ભાવનગર
પ્રજેશ પટેલ - ગાંધીનગર
મૈત્રય ભટ્ટ - નડિયાદ 
સંકેત જોશી
કલ્પેશ દીનાબંધુભાઈ અખાણી - રાધનપુર
રવિ નટવરલાલ પટેલ - ભરૂચ
હર્ષ કોન્ટ્રાકટર   
હેમંત પંડ્યા
કામિની જયેશ પટેલ  - કડી
વૈભવ શાહ - ભરૂચ

 અલ્પેશ પટેલ

દિપાલીબહેન શાહ 

વિશાલ શાહ સાવરકુંડલા
કાન્તિલાલ જોયોસ - આણંદ
પ્રીતેશ શાહ
રીતેશ ઝા     
વિવેક કંટારીયા