...તો કેટલાં ખાનાં ખુલ્લાં હશે ?

ગયા અંકમાં સવાલ પુછેલ કે, એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા કરે, ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, .. ખાના બંધ કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં  ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે કેટલા ખાનાં ખુલ્લાં  હશે?
ચાલો ઉકેલીએ. બધા એકી નંબરના વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલે છે. અને બધા બેકી નંબરના વિદ્યાર્થીઓ ખાના બંધ કરે છે. માટે એકી નંબરનો વિદ્યાર્થી બેકી નંબરના ખાનાની સ્થિતિ બદલાશે નહિ અને બેકી નંબરનો વિદ્યાર્થી એકી નંબરના ખાના ની સ્થિતિ બદલાશે નહિ.  ઉપરાંત, સૌથી છેલ્લે થયેલ ફેરફાર કાયમ રહેશે. જેમ કે ૧૦૦ નંબરનો વિદ્યાર્થી ૧૦૦ નંબરનું ખાનું બંધ કરશે જેમાં પછી ફેરફાર થશે નહિ. એ જ રીતે ૯૯ નંબરનો વિદ્યાર્થી ૯૯ નંબરનું ખાનું ખોલશે જે પછી બદલાશે નહિ (કેમ કે પછી ૯૯ના કોઈ  અવયવનો વારો નહિ આવે, ૯૯ના બધાં અવયવો  ૯૯થી નાના જ હોય! ) એ જ રીતે ૯૮, ૯૬, ૯૪, ૯૨,  ..નંબરના વિદ્યાર્થીઓ એ જ નંબરના ખાના  બંધ કરશે અને ૯૭, ૯૫, ૯૩ .. વગેરે વિદ્યાર્થીઓ એ જ નંબરના ખાના ખોલશે. સ્પષ્ટ છે કે બધાં એકી નંબરના ખાના ખુલ્લા રહેશે અને બેકી નંબરના ખાના બંધ રહેશે. આમ જવાબ છે ૫૦ ખાના બંધ હશે અને પચાસ ખાના ખુલ્લાં હશે.

ઘણા મિત્રોએ જવાબ આપ્યા, પણ માત્ર નીચેના મિત્રોએ ખરા  જવાબ મોકલ્યા. ખુબ ખુબ અભિનંદન.
૧. વિવેક કંટારીયા, અમદાવાદ
૨. પ્રજેશ પટેલ, ગાંધીનગર
૩. ડો. ત્રિભોવનભાઈ બારેવડીયા, બોટાદ
૪. પ્રશાંત નસીત, રાજકોટ
૫. વિવેક શાહ
૬. જયેન્દ્રભાઈ સગલાની, ગોવા

 End Game:
૧) એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના ખુલ્લા કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે , ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, ..નંબરના ખાના ખુલ્લા હોય તો બંધ કરે અથવા બંધ હોય તો ખુલ્લા કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં  ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે ક્યાં ખાનાં ખુલ્લાં  હશે?

૨) એક મૂંઝાયેલા બેંક કેશિયરે મી. પટેલના ચેક ચુકવતી વખતે ગડબડ કરી દીધી. જેટલાં રૂપિયા આપવાના હતાં એટલાં પૈસા આપી દીધાં અને  પૈસા આપવાના હતાં એટલાં રૂપિયા આપી દીધાં. મી.પટેલે બહાર નીકળીને 50 પૈસાની ચોકલેટ ખરીદી. હવે મી. પટેલ પાસે ચેક પર લખેલી રકમ કરતાં ત્રણ ઘણી રકમ હાથ પર હતી. તમે શોધી શકો કે એ ચેક પર લખેલી રકમ કેટલી હશે ?

તમારા જવાબો www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ સ્વરૂપે મુકો અથવા ઈ-મેઈલ કરો alpesh.bhalala@gmail.com પર.

Google Instant Search

Yesterday Google said and released search as you type. Most of you must have experienced it by now! Google blog for it is here  Though it has fantastic speed to search at the speed of type, but my few points to put on table:
1. Do they need Search button now?!!
2. If search starts after a configurable number of characters wouldn't it be better?! Initial few characters, mostly, would not match with your search keyword. e.g. after 4 characters only instant search starts and you can set your number 4 in settings. Searching for first character I type has rare probability that it would give me correct search, than why to overkill?!

Gmail Priority Inbox

Gmail came with a real good feature of Priority Inbox. Which filters out most of marketing emails to Not Important virtual folder. Read more here and watch video here.

...તો કેટલાં ખાનાં ખુલ્લાં હશે ??

ગયા અંકમાં પૂછેલું કે nxn ખાનાવાળા ચોરસમાં કુલ કેટલાં લંબચોરસ હોય? ઘણા બધા વાંચકોએ  આ જવાબ આગલાં અંકમાં પુછેલ પઝલમાં જ જવાબ આપી દીધેલ તો બીજા ઘણા વાંચકોએ આ વખતે જવાબ મોકલ્યા. ચાલો જોઈ લઈએ કેટલાં લંબચોરસ nxn ખાનાવાળા ચોરસમાં હોય.
ગયા વખતે આપણે ચેસ બોર્ડ માટે જવાબ શોધતી વખતે સૂત્ર મેળવેલ કે ચેસ બોર્ડમાં રહેલા કુલ લંબચોરસની સંખ્યા = (Sigma8 )^2
ચાલો ધારી લઈએ કે n *n   ખાનાવાળા ચોરસમાં કુલ (Sigma n ) ^2  લંબચોરસ હોય. હવે સાબિત કરવાનું રહે કે n +1 ખાનાવાળા ચોરસમાં (સિગ્મા (n + 1 ) ) ^2  લંબચોરસ છે.     જે ગયા અંકમાં ગણિતીય અનુમાનના સિદ્ધાંતથી તારવી શકાય.
હવે જીગર પટેલે ચેસબોર્ડમાં  રહેલાં લંબચોરસ શોધવા માટે લખી મોકલેલ જવાબ જોઈએ,
હવે 1 ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ માટે,

1*1                         -              8*8=                     64

1*2 & 2*1            -              (7*8) +(7*8)=    112

1*3 & 3*1            -              (6*8) +(6*8)=    96

1*4 & 4*1            -              (5*8) +(5*8)=    80

1*5 & 5*1            -              (4*8) +(4*8)=    64

1*6 & 6*1            -              (3*8) +(3*8)=    48

1*7 & 7*1            -              (2*8) +(2*8)=    32

1*8 & 8*1            -              (1*8) + (1*8)=   16

                                                                =  512                      =8 ^3

હવે ૨ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ માટે,

2*2                         -              7*7=                     49

2*3 & 3*2            -              (6*7) +(6*7)=    84

2*4 & 4*2            -              (5*7) +(5*7)=    70

2*5 & 5*2            -              (4*7) +(4*7)=    56

2*6 & 6*2            -              (3*7) +(3*7)=    42

2*7 & 7*2            -              (2*7) +(2*7)=    28

2*8 & 8*2            -              (1*7) +(1*7)=    14

                                                                =  343                      = 7 ^3

હવે ૩ ઉંચાઈવાળા લંબચોરસ માટે,

3*3

…

..

3*8 & 8*3            -              (1*6) + (1*6)

                                                                = 216                       = 6^3

4*4  TO (4*8 & 8*4)                = 125                       =5^3

5*5 TO (5*8 & 8*5)                 = 64                          =4^3

6*6 TO (6*8 & 8*5)                 = 27                          =3^3

7*7 TO (7*8 & 8*5)                 = 8                            =2^3

For 8*8                                        = 1                            =1^3

ટોટલ = 512+343+216+125+64+27+8+1               =             1296

સૂત્ર                                                                                    ^{=Sigma N ^3}

હવે આપાણી પાસે બે જુદા જુદા સુત્રો છે અને બંને ખરા પણ છે! આમ એક સરસ સંબંધ આ મુજબ લખી શકીએ, જે આપણે જાણીએ જ છીએ.
Sigma N^{^}3 = (Sigma N)^2 


END GAME

એક સ્કુલમાં ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ છે. અને તેમનાં પુસ્તકો મુકવા સ્કુલમાં ૧૦૦ નાના ખાના રાખવામાં આવ્યા છે. હવે જો પ્રથમ વિદ્યાર્થી બધા ખાના ખોલી નાખે, બીજો વિદ્યાર્થી ૨, ૪, ૬, ૮ ... નંબરના ખાના બંધ કરે, ત્રીજા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ... નંબરના ખાના ખુલ્લા કરે, ચોથા નંબરનો વિદ્યાર્થી ૪, ૮, ૧૨, ૧૬, .. ખાના બંધ કરે. જો આ જ ક્રમમાં બધાં  ૧૦૦ વિદ્યાર્થીઓ ખાના ખોલ-બંધ કરે તો અંતે કેટલા ખાનાં ખુલ્લાં  હશે?
આપના જવાબો alpesh .bhalala @gmail .com પર મોકલો અથવા www .alpeshbhalala .com પર કોમેન્ટ મુકો.