Perfect Numbers

હમણાં હમણાં થોડા મજેદાર આંકડાઓ વાંચવા મળ્યા જે અહી ટપકાવવાના  આશયથી આ પોસ્ટ.

૧) અમેરિકન શેર ઇન્ડેક્સ S&P ૫૦૦ની (૫૦૦માથી ) ૪૦% કંપનીઓ ૧૦ વરસ પહેલા અસ્તિત્વમાં જ નહોતી! ( આ અઠવાડિયાના Barron's માંથી )

૨) કેલીફોર્નીયા રાજ્યમાં ૧% લોકોએ રાજ્યના કુલ ઇન્કમ ટેકસનો  ૪૫%  ઇન્કમ ટેક્સ ભર્યો. ( wsj.com) કોલેજમાં ભણેલો ૭૦-૩૦ નિયમ યાદ આવી ગયો !

૩) કાર સીટી તરીકે ઓળખાતું ડેટ્રોઈટ શહેરની વસ્તી છેલ્લા નેવું વરસની સૌથી નીચેની સપાટીએ આવી ગઈ અને છેલ્લા દસ વરસોમાં ૨૫% વસ્તીઘટાડો નોંધાયો. ( લગભગ બધા છાપાઓમાં આ ચપાય ચુક્યું હશે, પણ મેં આ છાપામાં વાંચેલ )

૪) દુનિયાના મોટા અને મોંઘા શહેરોમાં ગણાય એવા શહેર ન્યુ યોર્કનો વસ્તી રીપોર્ટ શું કહે છે? છેલ્લા દસ વરસોમાં ૨.૧% વસ્તી વધી. પણ રસપ્રદ એ છે કે અહી બ્લેક અને વ્હાઈટ (કાળા અને ધોળા ) લોકોની વસ્તી ઘટી પણ એશિયન લોકોની વસ્તી ૩૧.૮% વધી!   

૫) આખા અમેરિકાની વસ્તીના આંકડા પણ રસપ્રદ છે. ૫૦% વસ્તી ૧૦ શહેરોમાં વસે છે. ધોળા લોકોની વસ્તી ટકાવારી પ્રમાણે જોતાં ઘટતી જાય છે અને ૨૦૪૦ સુધીમાં કુલ વસ્તીના માત્ર ૫૦% લોકો ધોળા રહેશે.  (ધોળા લોકોના આંકડા સ્પેનીશ સિવાયના ધોળા લોકો છે. )

બક્ષીબાબુને એકવાર આવું કહેતા સાંભળ્યા હતાં, "ભીંતે માથા પછાડીએ ત્યારે આંકડા મળે છે". આજેય આ વાત એટલી જ સાચી વાત છે !

કેટલાક કલાકારો એક નાની બુક રાખતા હોય છે એટલે જયારે પણ ક્યાંય પણ પ્રોગ્રામ આપવાનો થઇ પડે તો એમાંથી થોડુક ( જોક્સ કે કવિતાઓની પંક્તિઓ કે શેર ) વહેતું મૂકી દેવાથી ઘણી બધી તાળીઓ વીણી શકાય. આવું જ અમુક લેખકો એમના લેખો લખવા માટે થોડાક આંકડાની બુક બનાવી હોવાનું ધ્યાન પર આવ્યું છે અને જુના તો જુના, એના એ જ આંકડાઓ વારંવાર વાંચવા મળે છે !  તો વળી અમુક લોકોને લાંબા આંકડાઓ ( કેટલા મીંડા લખ્યા છે એની ગણતરી તેઓ પણ નહિ કરતા હોય ! ) લખી જાણે છે !

આ મથાળાની પ્રેરણા ફ્રેંચ ફિલોસોફર René Descartes ના નીચેના પ્રખ્યાત વિધાન પરથી મળી છે.
Perfect numbers like perfect men are very rare.

મંદિર અને જાદુઇ નદી

ગયા અંકનો સવાલ:


એક ભક્ત મહારાજ વહેલી પ્રભાતે ભગવાનના દર્શને હાલ્યા. ઘરે ઉગાડેલ ગુલાબના થોડા ફૂલ સાથે લીધા.ગામની સીમે આવેલી નદીના સામા કાંઠે મંદિર, એના પછી ફરીથી એક નદીને વળી પાછું મંદિર.   ને વળી પાછી નદીને પાછી છેલ્લું ને ત્રીજું મંદિર.આમ કુલ ત્રણ નદી અને ત્રણ મંદિર. પહેલા નદી ને છેલ્લે મંદિર. ભક્ત મહારાજે નદીમાં સ્નાન કર્યું. બહાર નીકળીને જોયું તો તેને લીધેલા ફૂલ ડબલ થઇ ગયા હતા. ભગવાનને એમાંથી થોડા ફૂલ ધર્યા, થોડા બીજા મંદિરો માટે રાખ્યા. ફરીથી નદી આવી ને કરીથી ફૂલ ડબલ. ફરીથી ભગવાનને થોડા ફૂલ ધર્યા. ફરીથી નદી આવી ને ફરીથી જાદુ. છેલ્લા મંદિરે પણ ભક્ત મહારાજે ભગવાનને ફૂલ ધર્યા. મહારાજે બધાય ભગવાનનો સરખો રાજીપ મેળવવા સરખા જ ફૂલ ધર્યા હતા. અને છેલ્લે મહારજ પાસે એકેય ફૂલ વધ્યું નહિ. તો હે સુજ્ઞ વાંચકો, આ ભક્ત મહારાજ ઓછામાં ઓછા કેટલાં ફૂલ સાથે ઘેરથી નીકળ્યા હશે અને દરેક મંદિરે કેટલાં ફૂલ ભગવાનને ધર્યા હશે?

જવાબ:

ઢગલાબંધ જવાબો મળ્યા, મોટા ભાગના વાંચકોએ સાચો જવાબ પણ લખ્યો. આ પઝલ ખુબ જ પ્રખ્યાત છે અને બધાએ કયારેક તો સાંભળી જ હશે. પણ આજની પઝલ આ પઝલના પાયા પર ચણેલી પઝલ છે. પણ મોટા ભાગના વાંચકોએ (લગભગ ૨૦૦ ) ભક્ત મહારાજ ૭ ફૂલ લઈને નીકળ્યાથી શરૂઆત કરી. જે જવાબ ધરી લીધા સમાન છે. આ સાત ક્યાંથી કેવી રીતે આવ્યા એ શોધવાની મજા ય તો તમે ના લીધી અથવા અમને ના જણાવી.
 છતાં ઘણા વાંચકોએ સંપૂર્ણ સાચા જવાબ પણ લખ્યા છે અને આ રહ્યા એ વાંચકો:
૧) સૌરભ વ્યાસ
૨) ભાવિક શાહ
૩) મંથન સાગલાની, ગોવા
૪) શૈશવ જોગાણી, સુરત
૫)  ડૉ. જયેશ પટેલ, અમદાવાદ
૬) મલય મેહતા
૭) દર્શિલ ચૌહાણ જે.
૮) રાહિલ પટેલ, અમદાવાદ
૯) ચિંતન ખાખરીયાવાલા, આણંદ 
૧૦) જીગર

જવાબ આ મુજબ છે:

ધારો કે ભક્ત મહારાજ ઘેરથી x ફૂલ લઈને નીકળ્યા. અને ધારો કે દરેક મંદિરમાં y ફૂલ પધરાવ્યા. 

પહેલી  નદી પછી 2x ફૂલ થયા જેમાંથી મંદિરમાં y ફૂલ પધરાવતાં બાકી વધ્યા  2x -y ફૂલ.
બીજી નદી પછી 2 (2x -y ) ફૂલ થયા અને જેમાંથી મંદિરમાં y ફૂલ પધરાવતાં બાકી વધ્યા 4x -3y ફૂલ.
ત્રીજી નદી પછી 2 (4x -3y ) ફૂલ થયા અને જેમાંથી મંદિરમાં y ફૂલ પધરાવતાં બાકી વધ્યા 8x -7y ફૂલ.
પણ અહી મહારાજ પાસે છેલ્લે એક પણ ફૂલ વધતું નથી માટે 8x -7y =0
મતલબ, x=7y/8
હવે આવી સૌથી નાની સંખ્યા શોધવાનું કહેવામાં આવ્યું છે. માટે x ની સૌથી નાની સંખ્યા શોધતાં,  y =૮ લેતા x = ૭ મળે.

આમ મહારાજ સાત ફૂલ લઈને નીકળ્યા અને દરેક મંદિરે ૮ ફૂલ પધરાવ્યા. 

End Game

ગયા અંકે પુછેલા કોયડામાં ૩ મંદિર અને ૩ નદીઓ હતી. હવે ધારો કે
૧) પાંચ મંદિર અને પાંચ નદીઓ હોય તો તમારો જવાબ શું હશે? પહેલા નદી અને છેલ્લે મંદિર.
૨) N (ધન સંખ્યા) નદીઓ અને N મંદિરો હોય તો તમારો જવાબ શું આવશે ? પહેલા નદી અને છેલ્લે મંદિર.

જવાબ ક્યાં મોકલશો?

તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpesh.bhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.

 

મંદિર અને જાદુઈ નદી

ગયા અંકનો સવાલ:

અનીલ,  પાલવ, વૈશાલી અને સંગીતા એક નદી પરના સાંકડા લક્કડિયા પુલને રાતના સમયે ઓળંગવા માંગે છે.  તેમની પાસે એક જ ટોર્ચ છે. જેના વગર આ પુલ ઓળંગી શકાય એમ નથી. પુલ બેથી વધારે જણનો વજન ઊંચકી શકે એટલો મજબુત નથી. દરેકની ચાલવાની ઝડપ પણ અલગ છે.

• સંગીતા એક મીનીટમાં પુલ ઓળંગે છે.
• વૈશાલી બે મીનીટમાં પુલ ઓળંગે છે.
• પાલવ પાંચ મીનીટમાં પુલ ઓળંગે છે.
• અનીલ દસ મીનીટમાં પુલ ઓળંગે છે.

ઓછામાં ઓછા કેટલા સમયમાં આ પુલ આ ગ્રુપ ઓળંગી શકશે ?

જવાબ:

ઘણા બધા વાંચકોએ સાચા જવાબ મોકલ્યા. પહેલો  ખાસ અઘરો નહોતો. પણ મોટા પ્રમાણમાં ખોટા જવાબો મળ્યા. છતાં ઘણા વાંચકોએ સાચો જવાબ પણ લખ્યો. સૌ પ્રથમ સાચો જવાબ મોકલ્યો મલય મહેતાએ.  એ ઉપરાંત તીર્થ જાની, તપન અને ધરતી, આદિત્ય પટેલ, દર્શન સંઘવી, દર્શીલ ચૌહાણ, સૌરભ પંચાલ, રવિ, દિપાલી શાહે ખરા જવાબ લખી મોકલ્યા. 

જવાબ આ મુજબ છે:

પહેલા સંગીતા અને વૈશાલી પુલ ઓળંગશે, પછી સંગીતા ટોર્ચ લઇ પરત આવશે. કુલ સમય ૩ મીનીટ.
હવે, અનીલ અને પાલવ પુલ ઓળંગશે, પછી વૈશાલી ટોર્ચ લઇ પરત આવશે. કુલ સમય ૧૨  મીનીટ.
છેલ્લે ફરીથી સંગીતા અને વૈશાલી સામે છેડે જશે, આ માટે લાગતો સમય ૨  મીનીટ
આમ, કુલ ૩ + ૧૨ + ૨ = ૧૭ મિનીટ લાગશે.

સૌથી વધુ સમય લેતા અનીલ અને પાલવને જોડે મોકલતા અને ઓછા સમયમાં પરત ફરી શકે એ માટે વૈશાલીને પહેલા સામે મોકલતા ૨ મિનીટબચાવી શકાય છે.


End Game

એક ભક્ત મહારાજ વહેલી પ્રભાતે ભગવાનના દર્શને હાલ્યા. ઘરે ઉગાડેલ ગુલાબના થોડા ફૂલ સાથે લીધા.ગામની સીમે આવેલી નદીના સામા કાંઠે મંદિર, એના પછી ફરીથી એક નદીને વળી પાછું મંદિર.   ને વળી પાછી નદીને પાછી છેલ્લું ને ત્રીજું મંદિર.આમ કુલ ત્રણ નદી અને ત્રણ મંદિર. પહેલા નદી ને છેલ્લે મંદિર. ભક્ત મહારાજે નદીમાં સ્નાન કર્યું. બહાર નીકળીને જોયું તો તેને લીધેલા ફૂલ ડબલ થઇ ગયા હતા. ભગવાનને એમાંથી થોડા ફૂલ ધર્યા, થોડા બીજા મંદિરો માટે રાખ્યા. ફરીથી નદી આવી ને કરીથી ફૂલ ડબલ. ફરીથી ભગવાનને થોડા ફૂલ ધર્યા. ફરીથી નદી આવી ને ફરીથી જાદુ. છેલ્લા મંદિરે પણ ભક્ત મહારાજે ભગવાનને ફૂલ ધર્યા. મહારાજે બધાય ભગવાનનો સરખો રાજીપ મેળવવા સરખા જ ફૂલ ધર્યા હતા. અને છેલ્લે મહારજ પાસે એકેય ફૂલ વધ્યું નહિ. તો હે સુજ્ઞ વાંચકો, આ ભક્ત મહારાજ ઓછામાં ઓછા કેટલાં ફૂલ સાથે ઘેરથી નીકળ્યા હશે અને દરેક મંદિરે કેટલાં ફૂલ ભગવાનને ધર્યા હશે?

જવાબ ક્યાં મોકલશો?

તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.