દીકરીઓની ઉંમર કેટલી ?

ગયા અંકનો સવાલ: 


એક વસ્તીગણતરીકાર એક ઘેર જાય છે જ્યાં એક માણસ એની ત્રણ દીકરીઓ સાથે રહેતો હતો.વસ્તીગણતરીકાર : "તમારી દીકરીઓની ઉંમર કેટલી છે?" ( કોઈ છોકરીની ઉંમર એના પપ્પાને તો પુછાય ને !!) માણસ: "એમની ઉંમેરોનો ગુણાકાર ૭૨ છે, અને સરવાળો મારા ઘર નંબર જેટલો છે."
વસ્તીગણતરીકાર :"પણ એ પુરતી માહિતી નથી."
માણસ: "સારું, સૌથી મોટી દીકરીને ચોકલેટ બહુ ભાવે છે."
કહો જોઈએ વાંચકો, આ ભાઈની દીકરીઓની ઉંમર !!


જવાબ:

આ  કોયડો  છેક ૧૮૫૯મા લખાયેલ પુસ્તક 'ધ કમ્પેનિયન ફોર યુથ'માં થોડા ભિન્ન સ્વરૂપે સૌ પ્રથમ વખત લખાયેલ. પછી કેટલાય જુદા જુદા સ્વરૂપોથી આ કોયડો ખુબ પ્રચલિત બન્યો.  આ કોયડાનો સાચો જવાબ છે: દીકરીઓની ઉંમર હશે  ૩,૩,અને ૮ વર્ષ.

ચાલો જોઈએ કેવી રીતે મળશે આવા આંકડા જયારે કોયડામાં ખાસ કઈ માહિતી આપી હોય એવું લાગતું નથી.
પ્રથમ વાક્ય: ઉંમેરોનો ગુણાકાર ૭૨ છે, અને સરવાળો મારા ઘર નંબર જેટલો છે.
હવે ૭૨ના અવયવો છે ૧,૨,૩,૪,૬,૮,૯,૧૨,૧૮,૨૪,૩૬,૭૨  અને વસ્તીગણતરીકારને  એનો ઘર નંબર  જાણે છે.

હવે શક્ય ઉકેલો નીચે મુજબ મળી શકે.

ક્રમ

નાની દીકરી

વચ્ચેની દીકરી

મોટી દીકરી

ઘર નંબર

1

1

1

72

74

2

1

2

36

39

3

1

3

24

28

4

1

4

18

23

5

1

6

12

19

6

1

8

9

18

7

2

2

18

22

8

2

3

12

17

9

2

4

9

15

10

2

6

6

14

11

3

3

8

14

12

3

4

6

13

હવે બીજું વાક્ય: "પણ એ પુરતી માહિતી નથી"
 મતલબ  એના ઘર નંબર માટે વસ્તીગણતરીકારને એકથી વધુ જવાબો મળ્યા જેથી એમણે કહ્યું કે માહિતી પુરતી નથી. નહિ તો એમણે જવાબ આપી દીધો હોત. આવી શક્યતા માત્ર ઘર નંબર ૧૪ માટે જ છે. (ઉપરના ટેબલ પરથી )
એટલે હવે બાકી રહેતા શક્ય ઉકેલો:

10

2

6

6

14

11

3

3

8

14

ત્રીજું વાક્ય :  સૌથી મોટી દીકરીને ચોકલેટ બહુ ભાવે છે.
મતલબ મોટી દીકરી એક જ છે. ઉપરના શક્ય ઉકેલોમાંથી પ્રથમ ( નંબર ૧૦ ) ઉકેલમાં બે મોટી દીકરીઓ હોવાથી, એ શક્યતા ગણકારતા મળતો જવાબ બે દીકરીઓની ઉંમર  ૩ વરસની  અને મોટી દીકરીની ઉંમર ૮ વર્ષની છે!!


જવાબ આપનાર વાંચકો:
સંપૂર્ણ સાચો  જવાબ માત્ર નેહલ  શાહે (હિંમતનગર) આપ્યો. અને ડીમ્પલ જોશીએ સારો પ્રયત્ન કર્યો.

End Game
ત્રણ નાના બોક્સ છે. દરેક બોક્સમાં બે લખોટીઓ છે. કુલ છ લખોટીમાં ત્રણ કાળી અને ત્રણ સફેદ લખોટીઓ છે. દરેક બોક્સ પર એક લેબલ લગાડેલ છે. દરેક લેબલ પર સફેદ-સફેદ, સફેદ-કાળો, અથવા કાળો-કાળો લખેલ છે. પણ દરેક લેબલ ખોટું છે. દા.ત. કાળો-કાળો લખેલ લેબલવાળા બોક્સમાં એક પણ કાળી લખોટી નથી. ઓછામાં ઓછા બોક્સ ખોલીને સાચા લેબલ બનાવવાના છે.  કેટલા બોક્સ ખોલશો તમે  ?

જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com  પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.

ટાપુ, નાળીયેર અને પાંચ માણસો

ગયા અંકનો સવાલ: 

પાંચ માણસો પ્લેન તૂટતાં એક નિર્જન ટાપુ પર ફસાયા.  પહેલાં દિવસે ટાપુ પરથી તેઓએ નાળીયેર ભેગા કર્યા. સાંજે અંધારું થઇ જતા નક્કી કર્યું કે હવે કાલે ભાગ પાડીશું.  રાત્રે  સાવચેતીના ભાગ રૂપે દર-એકે જાગવાના વારા રાખ્યા. પહેલો માણસ થોડી વાર પછી ચોકી કરીને કંટાળ્યો. નવરાશના સમયનો ઉપયોગ કરવા એણે નાળીયેરના પાંચ ભાગ કર્યા, એક નાળીયેર વધ્યું, જે તેણે વાંદરાને આપી દીધું. પોતાનો ભાગ સંતાડી દીધો. બાકીના ચાર ભાગનો એક ઢગ બનાવી દીધો.  લાંબી વાર્તા ટૂંકમાં, દરેક માણસે આવું કર્યું. સવારે બધાએ સરખા ભાગ પડી લીધા, વાંદરાને આપવાની જરૂર ના પડી. આવી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ અથવા તે લોકોએ કેટલાં નાળીયેર ભેગા કર્યા હશે ? બીજો પ્રશ્ન, દરેકના ભાગે કેટલાં નાળીયેર આવ્યા હશે?

જવાબ:
૩૧૨૧


આ કોયડો ત્રણ મિત્રોના કોયડા જેવો જ છે, અહીં મિત્રોની સંખ્યા પાંચ છે. એટલે ગયા અંકમાં જે ઉકેલ આપેલ એ જ રીત અહીં પણ લાગુ પડી શકાય. પણ ગણિતની ગમ્મત માટે અલગ રીતથી આ કોયડાનો ઉકેલ જોઈએ. ( જે ગયા અંકના કોયડામાં પણ લાગુ પડી શકાય.)
ધારો કે શરૂઆતમાં n   નાળીયેર  હતાં, માટે n ને  5a +1 ના સ્વરૂપે લખી શકાય જ્યાં a જેટલાં  નાળીયેર પહેલા માણસે રાખ્યા હશે. એ જ રીતે ધારો કે બીજા  માણસે b જેટલાં નાળીયેર રાખ્યા હોય, ત્રીજા માણસે c , ચોથા માણસે d  અને છેલ્લા માણસે e જેટલાં નાળીયેર રાખ્યા હોય. જ્યાં n અને a ,b ,c ,d ,e   ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.
 માટે,

n = 5a + 1	=> n + 4 = 5(a + 1) ...........................................................I
4a = 5b + 1	=>   4(a + 1) = 5(b + 1) => (a + 1) = 5 /4(b + 1)..............II
4b = 5c + 1	=>  4(b + 1) = 5(c + 1) => (b + 1) = 5 /4(c + 1)...............III
4c = 5d + 1	=>  4(c + 1) = 5(d + 1) => (c + 1) = 5 /4(d + 1)...............IV
4d = 5e + 1	=>  4(d + 1) = 5(e + 1) =>(d + 1) = 5 /4(e + 1).................V

હવે સમીકરણ V ની કિમંત IV માં , IV ની કિમંત III માં, III ની કિમંત II માં અને II ની કિમંત I મૂકતા,
n + 4 = 5 × (5/4)⁴ (e + 1) મળે. માટે,  n = (5⁵/4⁴) (e + 1) − 4  = 3125 / 256  (e + 1) − 4
અહી n ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,  (e +1 )  એ 256 થી વિભાજ્ય હોય. (કેમ કે 3125 /256 એ અપૂર્ણાંક છે.)

માટે સામાન્ય સમીકરણ આવું મળે, n = 3125r − 4, જ્યાં r એ ધન પૂર્ણાંક છે.
રની સૌથી નાની કિમંત 1 લેતાં , n = 3121 મળે.

આ કિમંત ઉપરના સમીકરણોમાં મૂકતા,

સૌથી પહેલા ઉઠેલા માણસને ૮૨૮, બીજા માણસને ૭૦૩, ત્રીજા ઉઠેલા માણસને ૬૦૩, ચોથા માણસને ૫૨૩ અંદ છેલ્લા માણસને ૪૨૯ નાળીયેર મળ્યા હશે.

 

જવાબ આપનાર વાંચકો:
સંપૂર્ણ સાચો  જવાબ માત્ર વૈભવ શાહે (ભરૂચ) આપ્યો. 
સરસ પ્રયત્ન કરનાર વાંચકો:
કેવલ શાહ
કમલનયન  કિનારીવાલા
ડો. સમીર દાણી, અમદાવાદ 
ભૈરવ ભંડારી, વલસાડ 
સુહાન પટેલ
હિમાંશુ જોગી, સિહોર
ગુંજન શેઠ
રોનક ઠક્કર, પાલનપુર

સાચો જવાબ મોકલનાર સૌ વાંચકોના નામ www .alpeshbhalala .com  પર મુકેલાં છે.

End Game

આ ખુબ જાણીતી પઝલ છે પણ મજ્જાની છે. જેમ જેમ 'ચલાવતા' જશો એમ એમ ચાવી મળતી જશે!
એક વસ્તીગણતરીકાર એક ઘેર જાય છે જ્યાં એક માણસ એની ત્રણ દીકરીઓ સાથે રહેતો હતો.
વસ્તીગણતરીકાર : "તમારી દીકરીઓની ઉંમર કેટલી છે?" ( કોઈ છોકરીની ઉંમર એના પપ્પાને તો પુછાય ને !!)
માણસ: "એમની ઉંમેરોનો ગુણાકાર ૭૨ છે, અને સરવાળો મારા ઘર નંબર જેટલો છે."
વસ્તીગણતરીકાર :"પણ એ પુરતી માહિતી નથી."
માણસ: "સારું, સૌથી મોટી દીકરીને ચોકલેટ બહુ ભાવે છે."
કહો જોઈએ વાંચકો, આ ભાઈની દીકરીઓની ઉંમર !!

જવાબ ક્યાં મોકલશો?
તમારો જવાબ અમને ઈ મેઈલ દ્વારા alpeshbhalala@gmail.com પર મોકલી શકો છો અથવા www.alpeshbhalala.com  પર કોમેન્ટ દ્વારા મૂકી શકો છો.

સૌ સાચા જવાબ મોકલનાર વાંચકો:

લલિત વાઢેર
અંકિતા ચૌહાણ
દિપાલી શાહ
રાકેશ શુદ્ર
કૌશિક પટેલ
સાગર પટેલ

શુભ દિપાવલી - નૂતન વર્ષાભિનંદન

આજે ગુજરાતની અસ્મિતાની માવજત કરવાનો અવસર છે. આજે ઘરમાં એક સુંદર પુસ્તક કે એક સુંદર કેસેટ ભલે આવે. આજે ઘરનાં સંતાનો સાથે બેસીને એકાદ સુંદર કવિતા વંચાય કે એક ભજન ગવાય તો મિષ્ટાન્ન પણ અધિક મધુર બનશે. સરેરાશ ગુજરાતી નાગરિક ઉત્સવપ્રિય અને શાંતિપ્રિય છે. એને વિશ્વનાગરિક થવામાં મુશ્કેલી નથી પડતી. એ દુનિયાના કોઈ પણ ખૂણે જાય ત્યાં ગરબો લેતો જાય છે.
- ગુણવંત શાહ

This is from one of my old post.